Cho hàm số $f(x)$. Hàm số $f^{\prime }(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình $f(e^x)<e^x+m$ nghiệm đúng với mọi $x\in (0;1)$ khi và chỉ khi

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình bên. Số nghiệm của phương trình $2f(x)+3=0$ là

Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ ($a,b,c,d\in \mathbb{R}$) có đồ thị như hình vẽ bên. Số các giá trị nguyên thuộc $[-10;10]$ của tham số $m$ sao cho phương trình $mf(x)+5=0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt là

Cho hai hàm số đa thức bậc bốn $y=f(x)$ và $y=g(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới, trong đó đường đậm hơn là đồ thị hàm số $y=f(x)$. Biết rằng hai đồ thị này tiếp xúc với nhau tại điểm có hoành độ $-3$ và cắt nhau tại hai điểm phân biệt nữa có hoành độ lần lượt là $-1$ và $3$. Bất phương trình $f(x)\ge g(x)+m$ nghiệm đúng với mọi $x\in [-3;3]$ khi và chỉ khi $m\le \frac{a+b\sqrt{c}}{9}$, với $a,b$ là các số nguyên, $c$ là số nguyên tố. Tính $S=a+b+c$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm thực âm của phương trình $f^{\prime }(f(x))=0$.
[IMAGE:img_q43_graph]

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=f(-x^3+3x+m)$ có đúng 6 điểm cực trị?
[IMAGE:img_q45_q]

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^4-2x^2-8$ và trục hoành là