Cho hàm số $f(x)$ có $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{1}{m}$ ($m>0$) và $f^{\prime }(x)=\sin x\cdot e^{m\cos x},\forall x\in \mathbb{R}$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để $m\cdot f\left(\frac{\pi }{3}\right)\ge -e^{1009}$?

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 43 chọn đáp án A.

Ta có:
$f(x)=\int f^{\prime }(x)dx=\int \sin x\cdot e^{m\cos x}dx=-\frac{1}{m}\int e^{m\cos x}d(m\cos x)=-\frac{1}{m}{e}^{m\cos x}+C.$
Từ giả thiết $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{1}{m}$:
$-\frac{1}{m}{e}^{m\cos (\pi /2)}+C=-\frac{1}{m}⟺-\frac{1}{m}{e}^0+C=-\frac{1}{m}⟺-\frac{1}{m}+C=-\frac{1}{m}⟺C=0.$
Do đó $f(x)=-\frac{1}{m}{e}^{m\cos x}$.
Khi đó:
$m\cdot f\left(\frac{\pi }{3}\right)=m\left(-\frac{1}{m}{e}^{m\cos (\pi /3)}\right)=-e^{\frac{m}{2}}.$
Bất phương trình trở thành:
$-e^{\frac{m}{2}}\ge -e^{1009}⟺e^{\frac{m}{2}}\le e^{1009}⟺\frac{m}{2}\le 1009⟺m\le 2018.$
Vì $m$ là số nguyên dương ($m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) nên $m\in \{1;2;3;\dots ;2018\}$.
Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên dương của $m$.

Chọn đáp án A.