Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị như hình vẽ.



Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f(f(x)+2m)-1=f(x)+2m$ có nhiều nghiệm nhất?

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 40 chọn đáp án B.



Đặt $t=f(x)+2m$.
Phương trình trở thành $f(t)-1=t⟺f(t)=t+1$ (1).
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(t)$ và đường thẳng $d:y=t+1$.
Vẽ đường thẳng $d:y=t+1$ đi qua các điểm $(-2;-1),(0;1),(2;3)$, từ đồ thị ta thấy đường thẳng cắt đồ thị $y=f(t)$ tại 3 điểm phân biệt có hoành độ:
$t=-2,t=0,t=2.$
Do đó ta có hệ:
$[<table><tbody><tr><td>f(x)+2m=-2</td></tr><tr><td>f(x)+2m=0</td></tr><tr><td>f(x)+2m=2</td></tr></tbody></table>⟺[<table><tbody><tr><td>f(x)=-2-2m</td></tr><tr><td>f(x)=-2m</td></tr><tr><td>f(x)=2-2m</td></tr></tbody></table>$
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$, phương trình $f(x)=k$ có tối đa 3 nghiệm khi $-1<k<3$.
Để phương trình đã cho có nhiều nghiệm nhất, cả 3 phương trình con cần có 3 nghiệm phân biệt, tuy nhiên ba đường thẳng $y=-2-2m,y=-2m,y=2-2m$ cách nhau 2 đơn vị trong khi khoảng có 3 nghiệm $(-1;3)$ có độ dài là 4, nên tối đa có 2 phương trình có 3 nghiệm và 1 phương trình có 1 nghiệm (tổng cộng $3+3+1=7$ nghiệm).
- Với $m=0$: $f(x)=-2$ (1 nghiệm), $f(x)=0$ (3 nghiệm), $f(x)=2$ (3 nghiệm) $\Rightarrow$ 7 nghiệm phân biệt.
- Với $m=1$: $f(x)=-4$ (không nghiệm/1 nghiệm), $f(x)=-2$ (1 nghiệm), $f(x)=0$ (3 nghiệm)...
Kiểm tra điều kiện để phương trình có nhiều nghiệm nhất (7 nghiệm), ta nhận $m=0$ và $m=1$.
Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$.

Chọn đáp án B.