Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm bậc 3 và có bảng biến thiên như sau:


Đồ thị của hàm số $y=|f(|x-1|)-n|+m^{2020}$ có bao nhiêu điểm cực trị với $m,n$ là tham số thực và $2<n<3$?

Chọn A.
Cộng hằng số $m^{2020}$ không làm thay đổi số điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Số điểm cực trị của hàm số $y=|g(x)|$ bằng số điểm cực trị của $g(x)$ cộng với số nghiệm bội lẻ của phương trình $g(x)=0$.
Xét hàm số $g(x)=f(|x-1|)-n$:
- Hàm số $f(x)$ có 2 điểm cực trị là $x=-1$ và $x=3$. Trong đó có 1 điểm cực trị dương là $x=3$.
Do đó hàm số $f(|x|)$ có $2\times 1+1=3$ điểm cực trị, tịnh tiến sang phải 1 đơn vị ta được hàm số $f(|x-1|)$ có 3 điểm cực trị.
- Xét phương trình $f(|x-1|)=n$ với $2<n<3$:
Vì $f_{CT}=1<n<f_{CD}=5$ nên đường thẳng $y=n$ cắt đồ thị $y=f(t)$ tại 3 điểm phân biệt $t_1<-1<0<1<t_2<3<t_3$.
(Do điểm uốn của đồ thị $f(x)$ tại $x=1$ có tung độ $y=3>n$, nên nghiệm nằm giữa $-1$ và $3$ là $t_2>1>0$).
Khi giải $|x-1|=t$:
+ $t=t_1<0$: phương trình vô nghiệm.
+ $t=t_2>0$: phương trình $|x-1|=t_2$ có 2 nghiệm phân biệt.
+ $t=t_3>0$: phương trình $|x-1|=t_3$ có 2 nghiệm phân biệt.
Tổng cộng phương trình $f(|x-1|)-n=0$ có 4 nghiệm phân biệt (đều là nghiệm đơn, không trùng với điểm cực trị).
Vậy tổng số điểm cực trị của hàm số là $3+4=7$ điểm cực trị.