Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|z+3i|=5$ và $\frac{z}{z-4}$ là số thuần ảo?

Chọn C.
Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$, $z\ne 4$).
Ta có $|z+3i|=5\iff x^2+(y+3{)}^2=25\iff x^2+y^2+6y-16=0$ (1).
Xét $\frac{z}{z-4}=\frac{x+yi}{(x-4)+yi}=\frac{(x+yi)(x-4-yi)}{(x-4{)}^2+y^2}=\frac{x(x-4)+y^2+i[y(x-4)-xy]}{(x-4{)}^2+y^2}$.
Để $\frac{z}{z-4}$ là số thuần ảo thì phần thực phải bằng 0:
$$x(x-4)+y^2=0\iff x^2-4x+y^2=0\text{ (với }(x;y)\ne (4;0)\text{)}(2).$$
Lấy (1) trừ (2) ta được $4x+6y-16=0\iff 2x+3y=8\iff x=\frac{8-3y}{2}$.
Thay vào (2) ta được phương trình bậc hai có 2 nghiệm: $y=0\Rightarrow x=4$ (loại do $z\ne 4$) và $y=\frac{24}{13}\Rightarrow x=\frac{16}{13}$ (thỏa mãn).
Vậy có đúng 1 số phức $z$ thỏa mãn.