Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên sau:

[IMAGE_1]

Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để phương trình $\frac{1}{f(x)-4}+\frac{1}{f(x)+6}=m$ có $3$ nghiệm thực phân biệt?

Ta có $\frac{1}{f(x)-4}+\frac{1}{f(x)+6}=m$ $(1)$

$\iff m\cdot [f(x){]}^2+2(m-1)\cdot f(x)-24m-2=0$ $(\text{đk}:f(x)\ne 4;f(x)\ne -6)$.

- Xét $m=0$ ta có: $f(x)=-1$ có $3$ nghiệm phân biệt, suy ra $m=0$ thỏa ycbt.
- Xét $m\ne 0$. Đặt $f(x)=t$, điều kiện: $t\ne 4;t\ne -6$.

Ta có PT: $m{t}^2+2(m-1)t-24m-2=0$ $(2)$.

Biệt thức ${\Delta }^{\prime }=25m^2+1>0,\forall m\in \mathbb{R}$.

Ta thấy $t=4;t=-6$ luôn không là nghiệm của phương trình. Do đó phương trình $(2)$ luôn có hai nghiệm phân biệt khác $4$ và $-6$.

Để phương trình $(1)$ có $3$ nghiệm phân biệt thì phương trình $(2)$ phải nhận $t=3$ hoặc $t=-5$ làm nghiệm. Khi đó $m=-\frac{8}{9}$ hoặc $m=\frac{8}{9}$.

Thử lại:
- Với $m=-\frac{8}{9}$, PT $(2)$ có $2$ nghiệm $t=3$ và $t=-\frac{29}{4}$. Khi đó PT $(1)$ có $3$ nghiệm $x$ phân biệt.
- Với $m=\frac{8}{9}$, PT $(2)$ có $2$ nghiệm $t=-5$ và $t=\frac{21}{4}$. Khi đó PT $(1)$ cũng có $3$ nghiệm $x$ phân biệt.

Vậy có $3$ giá trị của $m$ thỏa mãn ycbt.