Cho hàm số $y=-2x^3+6x^2-5$ có đồ thị $(C)$. Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M$ có hoành độ bằng $3$ là

Tìm $a,b$ để hai đồ thị $y=2x^2+ax+b$ và $y=\frac{1}{x}$ tiếp xúc với nhau tại điểm có hoành độ $x_0=\frac{1}{2}$.

Cho đường cong $(C)$ có phương trình $y=\frac{x-1}{x+1}$. Gọi $M$ là giao điểm của $(C)$ với trục tung. Tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ có phương trình là

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^4+x^2-1$ tại điểm có hoành độ bằng $-1$ là

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$. $A$ và $B$ là hai điểm thay đổi trên đồ thị sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại $A$ và $B$ song song với nhau. Biết rằng đường thẳng $AB$ luôn đi qua một điểm cố định. Tọa độ của điểm đó là

Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x+2}$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d:y=-2x+m-1$ ($m$ là tham số thực). Gọi $k_1,k_2$ là hệ số góc của tiếp tuyến của $(C)$ tại giao điểm của $d$ và $(C)$. Tính tích $k_1\cdot k_2$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C)$, biết tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm có hoành độ $x=0$ là đường thẳng $y=3x-3$. Giá trị của ${\lim }_{x\to 0}\frac{3x}{f(3x)-f(x)}$ là