Cho hàm số $f(x)=x^3+m{x}^2+nx-1$ với $m,n$ là các tham số thực thỏa mãn $m+n>0$ và $7+2(2m+n)<0$. Tìm số cực trị của hàm số $y=|f(|x|)|$.

Xét hàm số $f(x)=x^3+m{x}^2+nx-1$. Ta có:
- $f(0)=-1<0$.
- $f(1)=1+m+n-1=m+n>0$.
- $f(2)=8+4m+2n-1=7+2(2m+n)<0$.
- ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$.
Vì $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và:
$f(0)\cdot f(1)<0\Rightarrow f(x)=0$ có nghiệm $x_1\in (0;1)$;
$f(1)\cdot f(2)<0\Rightarrow f(x)=0$ có nghiệm $x_2\in (1;2)$;
$f(2)<0$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty \Rightarrow f(x)=0$ có nghiệm $x_3\in (2;+\infty )$.
Vì $f(x)$ là đa thức bậc ba nên $f(x)=0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt dương: $0<x_1<x_2<x_3$.
Do đó đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt phần dương của trục hoành tại 3 điểm phân biệt và có 2 điểm cực trị đều có hoành độ dương ($x_{cd}\in (x_1;x_2)$ và $x_{ct}\in (x_2;x_3)$).



Xét hàm số $y=f(|x|)$:
Đồ thị là hàm số chẵn, nhận trục tung làm trục đối xứng. Vì $y=f(x)$ có 2 điểm cực trị dương nên $y=f(|x|)$ có $2\times 2+1=5$ điểm cực trị.
Đồng thời đồ thị $y=f(|x|)$ cắt trục hoành tại $2\times 3=6$ điểm phân biệt đối xứng nhau qua $Oy$.



Xét hàm số $y=|f(|x|)|$:
Đồ thị thu được bằng cách giữ nguyên phần phía trên trục hoành của đồ thị $y=f(|x|)$ và lấy đối xứng phần phía dưới qua trục hoành.
Tại mỗi giao điểm với trục hoành (có 6 giao điểm đơn), đồ thị tạo thành 1 điểm cực trị.
Cùng với 5 điểm cực trị ban đầu của $y=f(|x|)$, tổng số điểm cực trị của hàm số $y=|f(|x|)|$ là $5+6=11$ điểm cực trị.
Chọn C.