Cho đồ thị $(C_m):y=x^3-2x^2+(1-m)x+m$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $(C_m)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2,x_3$ thỏa mãn $x_1^2+x_2^2+x_3^2=4$.

Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^3-2x^2+(1-m)x+m=0\iff (x-1)(x^2-x-m)=0\iff [\begin{array}{rl}x& =1\\ x^2-x-m& =0\text{ (1)}\end{array}$
Để $(C_m)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác $1$:
$\{\begin{array}{l}\Delta =1+4m>0\\ 1^2-1-m\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m>-\frac{1}{4}\\ m\ne 0\end{array}$.
Theo định lý Vi-ét cho phương trình (1): $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=1\\ x_1{x}_2=-m\end{array}$.
Giả sử $x_3=1$, ta có:
$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2+1=1^2-2(-m)+1=2+2m$.
Theo đề bài: $x_1^2+x_2^2+x_3^2=4\iff 2+2m=4\iff m=1$.
Giá trị $m=1$ thỏa mãn điều kiện $m>-\frac{1}{4},m\ne 0$ và $1\in (0;2)$.
Vậy $m\in (0;2)$.
Chọn B.