Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$, thỏa mãn $f(x)+\tan x\cdot f^{\prime }(x)=\frac{x}{{\cos }^{3}x}$. Biết rằng $3f\left(\frac{\pi }{3}\right)-f\left(\frac{\pi }{6}\right)=a\pi \sqrt{3}+b\ln 3$ trong đó $a,b\in \mathbb{Q}$. Giá trị của biểu thức $P=a+b$ bằng

Cho ${\int }_{-2}^{5}f(x)dx=8$ và ${\int }_{-2}^{5}g(x)dx=-3$. Khi đó $I={\int }_{-2}^5[f(x)-4g(x)-1]dx$ bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2$ và $y=x+2$ bằng

Cho ${\int }_0^{1}f(x)dx=2$ và ${\int }_0^{3}f(x)dx=5$. Khi đó ${\int }_1^{3}f(x)dx$ bằng

Câu 6. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x),y=0,x=-1$ và $x=4$. Mệnh đề nào dưới đây **đúng**?

Câu 5. Một khu công viên dự định thiết kế một bồn hoa nghệ thuật có ranh giới là một tam giác đều $ABC$ với cạnh dài $6\text{ m}$. Bên trong bồn hoa, người ta xây hai bờ kè phân cách có hình dạng là hai đường parabol bằng nhau đi qua $B$ và $C$, có trục đối xứng lần lượt song song với $BA$ và $CA$. Hai bờ kè này giao nhau tại một đài phun nước ở vị trí $D$. Biết rằng đường mép $BC$ của bồn hoa tiếp xúc với cả hai đường bờ kè parabol này và khoảng cách từ đỉnh $A$ của bồn hoa đến đài phun nước $D$ là $1,4\text{ m}$. Phần diện tích giới hạn bởi hai bờ kè parabol và đoạn $BC$ (phần tô màu đen) được dùng để trồng hoa hồng. Tính diện tích phần đất trồng hoa hồng theo đơn vị ${\text{m}}^2$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Cho ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=2$ và ${\int }_0^{1}g(x)\mathrm{d}x=5$. Khi đó ${\int }_0^1[f(x)-2g(x)]\mathrm{d}x$ bằng