Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x),G(x)$ là hai nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(1)-3G(1)=4$ và $F(0)-3G(0)=6$. Nếu $f(1)=2$ thì ${\int }_0^{1}x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ bằng

Biết rằng ${\int }_1^{e}x\ln xdx=a{e}^2+b,a,b\in \mathbb{Q}$. Tính $a+b$.

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $f(5)=1$ và ${\int }_0^{1}xf(5x)dx=1$, khi đó ${\int }_0^5{x}^2{f}^{\prime }(x)dx$ bằng

Cho hàm số bậc hai $y=f(x)$ có đồ thị là $(P)$, một đường thẳng $\Delta$ cắt đồ thị $(P)$ tại hai điểm là $A(-1;-3)$ và $B(2;-1)$ như hình vẽ bên. Biết rằng diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(P)$ và đường thẳng $\Delta$ bằng $\frac{3}{2}$, tính tích phân $I={\int }_{-1}^2(2x+1)f^{\prime }(x)\text{d}x$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và đường thẳng $(d):g(x)=ax+b$ có đồ thị như hình vẽ.



Biết diện tích miền tô đậm bằng $\frac{37}{12}$ và ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{19}{12}$. Tích phân ${\int }_{-1}^{0}x\cdot f^{\prime }(2x)dx$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C)$ như hình vẽ. Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C)$ và trục hoành bằng $8$ và ${\int }_0^{8}f(x)\mathrm{d}x=4$. Giá trị của $I={\int }_3^8(2023-x)f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(0)=4$ và $f(x)+f^{\prime }(x)=x^3,\forall x\in \mathbb{R}$. Giá trị của $f(1)$ bằng: