Biết rằng ${\int }_1^{e}x\ln xdx=a{e}^2+b,a,b\in \mathbb{Q}$. Tính $a+b$.

Nếu ${\int }_0^{2}f(x)\text{d}x=3$ thì ${\int }_0^2\left(1-f(x)\right)\text{d}x$ bằng

Cho hàm số bậc ba $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Tính $I={\int }_{-1}^2{f}^{\prime }(x)\text{d}x$.

Biết ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\cos }^{2}x\text{d}x=a.\pi +b$ với $a,b\in \mathbb{Q}$. Tính $P=ab$.

Cho hàm số bậc hai $y=f(x)$ có đồ thị là $(P)$, một đường thẳng $\Delta$ cắt đồ thị $(P)$ tại hai điểm là $A(-1;-3)$ và $B(2;-1)$ như hình vẽ bên. Biết rằng diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(P)$ và đường thẳng $\Delta$ bằng $\frac{3}{2}$, tính tích phân $I={\int }_{-1}^2(2x+1)f^{\prime }(x)\text{d}x$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $(0;+\infty )$ và thỏa mãn $x^{5}f(x)-2x^{2}f\left(\frac{1}{x^2}\right)=x^6-x^4-2,\forall x>0$. Biết rằng ${\int }_2^{16}f(x)\text{d}x=a+\ln b$ với $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tính giá trị của $J=a-2b^2$.

Nếu ${\int }_0^{2}f(x)\text{d}x=3$ thì ${\int }_0^2\left[2x-f(x)\right]\text{d}x$ bằng