Biết ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\cos }^{2}x\text{d}x=a.\pi +b$ với $a,b\in \mathbb{Q}$. Tính $P=ab$.

Nếu ${\int }_0^{2}f(x)\text{d}x=3$ thì ${\int }_0^2\left[2x-f(x)\right]\text{d}x$ bằng

Tính ${\int }_0^1{3}^x\text{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và $F(-2)=8$, $F(5)=-9$. Tích phân ${\int }_{-2}^{5}f(x)\text{d}x$ bằng?

Biết rằng ${\int }_1^2\left(6x^2+\sqrt{x}\right)\text{d}x=\frac{a+b\sqrt{2}}{3}$ với $a,b$ là các số nguyên. Giá trị của $a+b$ bằng?

Một chiếc cổng có hình dạng là một parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là $8\text{ m}$. Người ta treo một tấm phông hình chữ nhật có hai đỉnh $M,N$ nằm trên Parabol và hai đỉnh $P,Q$ nằm trên mặt đất như hình vẽ bên. Ở phần phía ngoài phông người ta mua hoa để trang trí với chi phí $200.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, biết $MN=4\text{ m},MQ=6\text{ m}$. Tính số tiền (đơn vị: triệu đồng) để mua hoa trang trí. *(Làm tròn đến hàng phần mười)*.

Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b(a<b)$ là: