Cho đồ thị của hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+x-1}{x-1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+x-1}{x-1}=x+2+\frac{1}{x-1}$, nên $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$, $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. a) Trên $(-3;1)$: $y^{\prime }>0$ khi $x<0$, $y^{\prime }<0$ khi $0<x<1$, nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x=0$ ($f(0)=1$) → đúng. b) Trên $(0;2)$ hàm số tăng trên $(0;1)$ và giảm trên $(1;2)$, không nghịch biến trên toàn khoảng → sai. c) Vì $f(x)=x+2+\frac{1}{x-1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x+2$, không phải $y=x+1$ → sai. d) Đạo hàm đúng là $y^{\prime }=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$, không phải $\frac{x^2+2x}{(x-1{)}^2}$ → sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn DSSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$; trên $(-3;1)$ hàm tăng trên $(-3;0)$ và giảm trên $(0;1)$ nên GTLN đạt tại $x=0$, $f(0)=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;2)$, hàm số tăng trên $(0;1)$ và giảm trên $(1;2)$ (khoảng $(1;2)$ nằm ngoài tập xác định tại $x=1$), nên không nghịch biến trên toàn khoảng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x+2+\frac{1}{x-1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x+2$, không phải $y=x+1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }={\left(x+2+\frac{1}{x-1}\right)}^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}\ne \frac{x^2+2x}{(x-1{)}^2}$.