Ông Nam cần xây dựng một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đầy để phục vụ việc tưới cây trong vườn. Do các điều kiện về diện tích vườn, ông Nam cần bể có thể tích là $\frac{500}{3}{m}^3$, đáy bể có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và chiều rộng không quá $7m$, biết rằng chi phí vật liệu xây dựng mỗi mét vuông diện tích bề mặt là như nhau. Hỏi chiều cao bể nước bằng bao nhiêu $m$ để tổng chi phí vật liệu là nhỏ nhất? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Một nhóm kỹ sư trẻ khởi nghiệp bằng việc sản xuất và kinh doanh đèn học thông minh. Qua nghiên cứu thị trường và quy trình sản xuất, nhóm thu được các thông tin sau:



- Về tiêu thụ:

- Nếu giá bán là 3 triệu đồng cho mỗi chiếc đèn thì không có sản phẩm nào được bán ra.

- Mỗi khi giảm giá bán 50 nghìn đồng cho mỗi chiếc đèn thì số lượng sản phẩm bán ra tăng thêm 1 chiếc.

- Về chi phí sản xuất:

- Chi phí cố định (thuê xưởng, máy móc, …) là 10 triệu đồng.

- Chi phí nguyên vật liệu là 600 nghìn đồng cho mỗi chiếc đèn.

- Chi phí vận hành dây chuyền sản xuất phụ thuộc vào số lượng đèn được sản xuất: Chiếc đèn đầu tiên có chi phí vận hành là 10 nghìn đồng, kể từ chiếc thứ hai, chi phí vận hành của mỗi chiếc tăng thêm 20 nghìn đồng so với chiếc ngay trước đó. Biết rằng giá bán của mỗi chiếc đèn không được thấp hơn 2,1 triệu đồng.

a) Lập biểu thức giá bán theo số lượng đèn bán ra.

b) Xác định giá bán mỗi chiếc đèn (triệu đồng) để lợi nhuận đạt được là lớn nhất.

Công ty X cần vận chuyển hàng đến một địa điểm cách công ty 100 dặm. Chi phí trên mỗi chuyến hàng mà công ty phải trả bao gồm chi phí nhiên liệu và chi phí thuê tài xế. Khi xe chở hàng di chuyển với tốc độ $x$ dặm/giờ thì chi phí nhiên liệu (tính bằng USD) trên mỗi dặm đường được cho bởi công thức $C(x)=\frac{1}{5}\left(\frac{64}{x}+\frac{9}{100}x\right)$. Ngoài ra, giá thuê tài xế là 16 USD trên mỗi giờ lái xe. Biết rằng tốc độ di chuyển của xe chở hàng không được phép vượt quá 50 dặm/giờ. Hỏi chi phí nhỏ nhất mà công ty đó phải trả trên mỗi chuyến hàng là bao nhiêu USD?

Trong hình bên cho biết một hình trụ bán kính đáy $r(cm)$, chiều cao $h(cm)$ nội tiếp hình nón có bán kính đáy $9cm$, chiều cao $18cm$. Tìm giá trị của $r$ để thể tích của hình trụ là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của $cm$)

Một đoàn cứu trợ lũ lụt đang ở vị trí $A$ của một tỉnh miền trung muốn đến xã $C$ để tiếp tế lương thực và thuốc men, phải đi theo con đường từ $A$ đến $B$ và từ $B$ đến $C$ (như hình vẽ). Tuy nhiên, do nước ngập con đường từ $A$ đến $B$ nên đoàn cứu trợ không thể đến $C$ bằng xe, nhưng đoàn cứu trợ có thể chèo thuyền từ $A$ đến vị trí $D$ trên đoạn đường từ $B$ đến $C$ với vận tốc 4 km/h, rồi đi bộ đến $C$ với vận tốc 6 km/h. Biết $A$ cách $B$ một khoảng 5 km, $B$ cách $C$ một khoảng 7 km. Hỏi vị trí điểm $D$ cách $A$ bao nhiêu km để đoàn cứu trợ đi đến xã $C$ nhanh nhất (kết quả làm tròn tới hàng phần trăm)?

Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng 108 cm² như Hình 1.17. Tìm diện tích đáy của chiếc hộp khi thể tích của chiếc hộp là lớn nhất.


Hình 1.17

Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1000 vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức: $N(t)=1000+\frac{100t}{100+t^2}$ (con) trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây. Tính số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng.