Cho hình lập phương $ABFE.DCHG$ có cạnh bằng 2.



Tích vô hướng $\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GE}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\vec{u}=(-3;4;-5)$. Giá trị của $2{\left(\vec{u}\right)}^2$ bằng bao nhiêu?

Bài 6. (4,0 điểm)
1. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(1;2;3)$, $B(-1;1;0)$, $C(3;0;-6)$. Tìm tọa độ điểm $M\in (Oxy)$ sao cho $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ nhỏ nhất.
2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho trước, mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, tia $Oz$ hướng lên trên, đơn vị trên mỗi trục là mét, một chiếc drone (thiết bị bay điều khiển từ xa) xuất phát từ gốc tọa độ $O$ chuyển động thẳng đều theo hướng hợp với các tia $Ox$, $Oy$ các góc tương ứng $45^{\circ }$, $120^{\circ }$ với tốc độ $15m/s$. Tìm tọa độ của chiếc drone đó sau một phút chuyển động.

Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp $S.ABCD$ , có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m , các cạnh bên bằng nhau và dài 219 m (theo britannica.com) (hình vẽ). Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$ . Tính góc giữa hai đường thẳng $BG$ và $SA$ (làm tròn tới hàng đơn vị độ).

Trên khu vực miền núi thì người dân thường xây dựng nhà ở dạng nhà sàn và được minh họa như hình vẽ dưới đây



Giả sử áp dụng hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ (đơn vị trên các trục là mét). Xét một bên của mái nhà gồm có một hình chữ nhật $CDFE$ và một hình thang $ADFG$ với các điểm có tọa độ lần lượt là $G(6;-6;6)$; $C(3;4;8)$; $F\left(4;-4;7\right)$ và điểm $I$ là trung điểm $CE$. Biết góc giữa hai vecto $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AB}$ bằng $a^{\circ }$. Giá trị của $a$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$, gọi $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ lần lượt là vectơ đơn vị của các trục $x^{\prime }Ox$, $y^{\prime }Oy$ và $z^{\prime }Oz$. Xét $\vec{u}=2\vec{i}-2\vec{j}-\vec{k}$. Độ dài vectơ $\vec{u}$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}\left(-1;1;3\right)$ và $\vec{v}\left(1;-1;0\right)$. Giá trị của $\vec{u}.\vec{v}$ bằng