Bài 6. (4,0 điểm)
1. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(1;2;3)$, $B(-1;1;0)$, $C(3;0;-6)$. Tìm tọa độ điểm $M\in (Oxy)$ sao cho $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ nhỏ nhất.
2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho trước, mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, tia $Oz$ hướng lên trên, đơn vị trên mỗi trục là mét, một chiếc drone (thiết bị bay điều khiển từ xa) xuất phát từ gốc tọa độ $O$ chuyển động thẳng đều theo hướng hợp với các tia $Ox$, $Oy$ các góc tương ứng $45^{\circ }$, $120^{\circ }$ với tốc độ $15m/s$. Tìm tọa độ của chiếc drone đó sau một phút chuyển động.

Lời giải.

1. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác ABC thì tọa độ điểm $G$ là $(1;1;-1)$.
Khi đó,

$$\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|3\overrightarrow{MG}\right|=3MG.$$

Nhận thấy $T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MG$ đạt giá trị nhỏ nhất. Mặt khác $M\in (Oxy)$ nên $MG$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $M$ là hình chiếu của $G(1;1;-1)$ lên $(Oxy)$ hay M(1;1;0).

Vậy $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|$ nhỏ nhất khi $M(1;1;0)$.

2. Gọi vecto vận tốc của drone trong 1 giây là $\vec{u}=(a;b;c)$ với $|\vec{u}|=15$ m/s.

Xét trong không gian $Oxyz$ có các vecto đơn vị $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ cùng hướng với $Ox,Oy,Oz$.

Do $(\vec{u},Ox)=45^{\circ }$ nên

$$\frac{\vec{u}\cdot \vec{i}}{|\vec{u}|\cdot |\vec{i}|}=\cos 45^{\circ }\iff \frac{a\cdot 1+b\cdot 0+c\cdot 0}{15\cdot 1}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow a=\frac{15\sqrt{2}}{2}.$$

Tương tự với trục $Oy$ ta được

$$b=-\frac{15}{2}.$$

Do $|\vec{u}|=15$ nên $a^2+b^2+c^2=15^2$. Thay $a=\frac{15\sqrt{2}}{2},b=-\frac{15}{2}$ vào ta tìm được

$$c=\pm \frac{15}{2}.$$

Do drone bay lên nên $c>0$, do đó:

$$\vec{u}=\left(\frac{15\sqrt{2}}{2};-\frac{15}{2};\frac{15}{2}\right).$$

Độ dịch chuyển của drone trong 1 phút là

$$\vec{d}=60\cdot \vec{u}=(450\sqrt{2};-450;450).$$

Do drone xuất phát tại $O(0;0;0)$ nên tọa độ của drone sau 1 phút là

$$(450\sqrt{2};-450;450).$$

Bình luận.

1. Câu hỏi được đặt trong hệ tọa độ không gian và liên quan đến các khái niệm về vecto. Nội dung bài toán chủ yếu dựa trên các tính chất quen thuộc của hình học giải tích trong không gian. Mặc dù bối cảnh có phần hình học hơn so với các câu trước, câu trúc câu hỏi vẫn khá trực tiếp và không đặt ra nhiều yêu cầu về ý tưởng mới.

2. Bối cảnh chuyển động của drone được đưa vào nhằm tạo yếu tố ứng dụng. Tuy nhiên mô tả về điều kiện chuyển động chưa thật sự đầy đủ. Cụ thể, đề bài không nêu rõ mối liên hệ giữa độ cao của drone và mốc “mặt đất” so với mực nước biển, dẫn đến khả năng xuất hiện các giá trị $z<0$. Điều này khiến mô hình không gian chưa hoàn toàn chặt chẽ về mặt mô tả.