Cho các hàm số $y=x^2-2x-1$ và $y=-x^2+3$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tính diện tích miền được gạch sọc.

Biết ${\int }_0^4\frac{\sqrt{2x+1}}{2x+3\sqrt{2x+1}+3}dx=a+b\ln 2+c\ln \frac{5}{3}$ ($a,b,c\in \mathbb{Z}$). Tính $T=2a+b+c$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn ${\int }_{-5}^{1}f(x)dx=9$. Giá trị của $I={\int }_0^2[f(1-3x)+9]dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ nhận giá trị dương và liên tục trên đoạn $[0;1]$ thỏa mãn $g(x)=1+2020{\int }_0^{x}f(t)dt$, $\forall x\in [0;1]$ và $g(x)=f^2(x)$, $\forall x\in [0;1]$. Khi đó tích phân ${\int }_0^{1}g(x)dx$ bằng

Biết ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx=3$, khi đó ${\int }_{-1}^1[2f(x)+1]dx$ bằng:

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime }(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ.



Biết $f(0)=1$ và diện tích $S=\frac{16}{3}$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=-\frac{2}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2+6x+1$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Biết ${\int }_1^e(3x^2+2x)\ln xdx=\frac{a}{b}{e}^3+\frac{e^2}{c}+\frac{5}{6}$, ($a,b,c\in \mathbb{N}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính $S=a+b+c$.