Cho $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$ có $AB=AD=a,CD=2a$ a) Tính $\left|\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\right|$ theo a. b) Gọi $H$ là trung điểm $DC$, $M$ là điểm thỏa $\overrightarrow{MB}=-3\overrightarrow{MC}$, gọi $K$ là giao điểm của $DM$ và $BH$. Biểu thị $\overrightarrow{BK}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{BC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: D(0;0), A(0;a), B(a;a), C(2a;0) (thỏa AB=AD=a, CD=2a, vuông tại A và D).
a) \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC} = (a;a)+(2a;0) = (3a;a), nên $\left|\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\right|=\sqrt{9a^2+a^2}=a\sqrt{10}$.
b) H trung điểm DC nên H(a;0). Từ $\overrightarrow{MB}=-3\overrightarrow{MC}$: $M-B=-3(M-C)\Rightarrow 4M=B+3C\Rightarrow M\left(\frac{7a}{4};\frac{a}{4}\right)$. Đường DM: điểm $(7at/4;at/4)$; đường BH: $(a;a(1-s))$. Giao: $7t/4=1\Rightarrow t=4/7$, suy ra $K(a;a/7)$ (kiểm tra $s=6/7$ khớp). Vậy $\overrightarrow{BK}=(0;-6a/7)$. Đặt $\overrightarrow{BK}=\alpha \overrightarrow{BD}+\beta \overrightarrow{BC}$ với $\overrightarrow{BD}=(-a;-a)$, $\overrightarrow{BC}=(a;-a)$: hệ $-\alpha +\beta =0$, $-\alpha -\beta =-6/7$ cho $\alpha =\beta =3/7$. Kết luận: $\overrightarrow{BK}=\frac{3}{7}\overrightarrow{BD}+\frac{3}{7}\overrightarrow{BC}$.