Cho $a,b>0$ và đều khác 1 thoả mãn $\ln a+\ln (8b)=2\ln (a+2b)$. Rút gọn biểu thức: $P={\log }_b(2a)+{\log }_{\frac{a}{2}}(2b)-\frac{1}{{\log }_{8}b}$ được kết quả bằng bao nhiêu?

Phương trình ${\log }_2(x+1)=2$ có nghiệm là

Ba số ${\log }_2(8x)$ ; ${\left({\log }_{2}x\right)}^2$ ; ${\log }_4(2x)$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tính tổng tất cả các giá trị của $x$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Bài 1 (2 điểm).

a) Giải phương trình $5^{x^2-x+7}=125^{2x-1}$.

b) Giải bất phương trình sau: ${\log }_2(x-3)+{\log }_2(x-2)\le 1$

c) Để quảng bá cho sản phẩm X, một công ty dự định tổ chức quảng cáo theo hình thức quảng cáo trên truyền hình. Nghiên cứu của công ty cho thấy: nếu sau $n$ lần quảng cáo được phát thì tỉ lệ người xem quảng cáo đó mua sản phẩm A tuân theo công thức $P(n)=\frac{1}{1+49e^{-0,015n}}$. Hỏi cần phát ít nhất bao nhiêu lần quảng cáo để tỉ lệ người xem mua sản phẩm đạt trên 40\%?

d) Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn ${\log }_{x^2+y^2+2}\left(2x-4y+3\right)\ge 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=3x+4y$.

Tổng các nghiệm của phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2-x^3}=4^{x^2-2}$ bằng

Chu kì bán rã của chất phóng xạ Plutolium ${}^{239}Pu$ là 24360 năm (tức là một lượng chất ${}^{239}Pu$ sau 24360 năm phân hủy còn một nửa). Sự phân hủy này được tính theo công thức $S=A{e}^{-rt}$, trong đó $A$ là lượng chất phóng xạ ban đầu, $r$ là tỉ lệ phân hủy hàng năm, $t$ là thời gian phân hủy, $S$ là lượng còn lại sau thời gian phân hủy $t$. Hỏi 20 gam ${}^{239}Pu$ sau ít nhất bao nhiêu năm thì phân hủy còn 4 gam?

Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn ${\log }_{6}x={\log }_{9}y=\frac{1}{2}+{\log }_4\left(x+y\right)$. Giá trị của $\frac{x}{y}$ bằng