Câu 6 (2,0 điểm):
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, $SA=SB=SC$, đường cao SO của hình chóp S.ABC có độ dài bằng 2a.
a) Chứng minh rằng $SA\perp BC$.
b) M là điểm thuộc đường cao AH của tam giác ABC (M khác A và H). Mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với AH cắt hình chóp theo thiết diện. Tìm vị trí của M để diện tích thiết diện lớn nhất.

a) Từ $SA=SB=SC\to OA=OB=OC\to$ O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ => O cũng là trực tâm tam giác $ABC\to$ OA vuông góc BC (1).

Mà SO vuông góc với (ACB) nên SO vuông góc với BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra BC vuông góc với (OSA).

Vậy BC vuông góc với SA.

b) Vì (P) đi qua M và vuông góc với AH nên (P) song song hoặc chứa AH. Do đó: Giao tuyến (P) với (SAH) song song hoặc trùng với AH => Gọi giao tuyến là GM. Theo định lí giao tuyến thì (P), (SCB), (ABC) đôi một cắt nhau nên giao tuyến EF (qua G) // BC // IJ (qua M).

Chú ý: Vẽ đúng hình cả hai trường hợp thiết diện là tam giác và tính đúng cho 0,5 điểm, hình thang cân và tính đúng cho 0,5 điểm.

Đặt $AM=x,x\in \left(0;\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$, $SO=2a$; $OH=\frac{a\sqrt{3}}{6}$; $OA=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

TH1. Nếu $0<x\le \frac{a\sqrt{3}}{3}$ thì thiết diện là tam giác KIJ. Thiết diện có diện tích lớn nhất, khi $AM=AO=\frac{2}{3}AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ hay $x=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

TH2. Nếu $\frac{a\sqrt{3}}{3}<x<\frac{a\sqrt{3}}{2}$ thì thiết diện là hình thang IJEF.

Ta có: $\frac{IJ}{BC}=\frac{AM}{AH}=\frac{x}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}\Rightarrow IJ=\frac{2x\sqrt{3}}{3}$.

$\frac{EF}{BC}=\frac{SG}{SH}=\frac{OM}{OH}=\frac{x-\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{6}}\Rightarrow EF=2\left(x\sqrt{3}-a\right)$.

$\frac{EF}{BC}=\frac{GM}{SO}=\frac{MH}{OH}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}-x}{\frac{a\sqrt{3}}{6}}\Rightarrow GM=2\left(3a-2x\sqrt{3}\right)$.

Khi đó, diện tích thiết diện IJEF là

$S=\frac{1}{2}(IJ+EF)\cdot GM=\frac{1}{3}\left(4x\sqrt{3}-3a\right)\left(6a-4x\sqrt{3}\right)\le \frac{3a^2}{4}$ (BDT Cô-si).

Vậy diện tích thiết diện lớn nhất là $\frac{3a^2}{4}$ khi $x=\frac{3a\sqrt{3}}{8}$.

Kết hợp các trường hợp, diện tích thiết diện lớn nhất là $\frac{3a^2}{4}$ khi $x=\frac{3a\sqrt{3}}{8}$.