Câu 4 (1,0 điểm):
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $a,b$ là các số thực bất kì. Xét hàm số $g(x)=f(a)+f(b)-2f(x)$. Chứng minh rằng phương trình $g(x)=0$ luôn có nghiệm thực.

Đặt $g(x)=f(a)+f(b)-2f(x)$ khi đó $g(x)$ cũng là hàm số liên tục trên đoạn $[a;b]$.
Ta có:
$g(a)=f(a)+f(b)-2f(a)=f(b)-f(a)$ và
$g(b)=f(a)+f(b)-2f(b)=f(a)-f(b)$.
Do đó: $g(a).g(b)=-[f(b)-f(a){]}^2$.

Nếu $f(a)=f(b)$ thì $\left[\begin{array}{c}x=a\\ x=b\end{array}\right]$ thỏa mãn bài toán.

Nếu $f(a)\ne f(b)$ thì $g(a).g(b)=-[f(b)-f(a){]}^2<0$
nên phương trình $g(x)=0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $(a;b)$.

Vậy phương trình $g(x)=0$ luôn có nghiệm.