(2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, gọi $(C)$ là đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x}$.
a) Tìm tọa độ các điểm $M$ thuộc $(C)$ để $OM=\sqrt{2}$.
b) Gọi $N$ là điểm thuộc $(C)$, tiếp tuyến tại $N$ của $(C)$ cắt hai trục tọa độ tại $A$ và $B$. Biết tam giác $OAB$ có độ dài đường cao hạ từ đỉnh $O$ bằng $\frac{4}{\sqrt{26}}$, tính $AB$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Điểm M(x; 1/x) thuộc (C) với x≠0. Ta có OM² = x² + 1/x² = 2. Đặt t = x² > 0, khi đó t + 1/t = 2 ⟹ t² − 2t + 1 = 0 ⟹ t = 1 ⟹ x = ±1. Vậy M(1; 1) hoặc M(−1; −1).

b) Với N(a; 1/a), a≠0, ta có y′ = −1/x² nên y′(a) = −1/a². Tiếp tuyến tại N: y = −(1/a²)(x − a) + 1/a = −x/a² + 2/a.
• Giao với Ox (y=0): x = 2/a ⟹ A(2/a; 0).
• Giao với Oy (x=0): y = 2/a ⟹ B(0; 2/a).
Do đó OA = OB = 2/|a|, tam giác OAB vuông cân tại O, nên AB = 2√2/|a|.
Đường cao hạ từ O trong tam giác vuông cân: h = OA·OB/AB = (4/a²)/(2√2/|a|) = √2/|a|.
Theo giả thiết: √2/|a| = 4/√26 ⟹ |a| = √2·√26/4 = √52/4 = √13/2.
Suy ra AB = 2√2/|a| = 2√2 · 2/√13 = 4√2/√13 = 4√26/13.
Vậy AB = 4√26/13 ≈ 1,57.