Trong một cái ao, có bốn chiếc lá sen được đánh số thứ tự 1, 2, 3, 4. Ban đầu, một con ếch ngồi trên lá số 1. Trong mỗi lần nhảy, nó nhảy đến một lá bất kì trong ba lá khác với lá đang ngồi. Gọi $a_n$ là số cách nhảy mà sau $n$ lần, con ếch về lại lá số 1; gọi $b_n$ là số cách nhảy mà sau $n$ lần, con ếch không về lại lá số 1.

(AI giải đề cho tôi)
Con ếch nhảy từ mỗi lá đến 3 lá khác nên sau $n$ lần nhảy có $3^n$ cách: $a_n+b_n=3^n$. a) Sau 2 lần về lá 1: nhảy $1\to x$ ($x\in \{2,3,4\}$) rồi $x\to 1$, có 3 cách nên $a_2=3$, đúng. b) $b_2=3^2-a_2=9-3=6$, đúng. c) Để sau $n+1$ lần nhảy ở lá 1, sau $n$ lần ếch phải ở lá khác 1 ($b_n$ cách) và từ đó nhảy về lá 1 (đúng 1 cách), nên $a_{n+1}=b_n$. Vì $a_1=0$ (sau 1 lần nhảy không thể ở lá 1) nên $b_n-a_1=b_n=a_{n+1}$, mệnh đề đúng. d) Với hệ thức $a_{n+1}=b_n$, $b_{n+1}=3a_n+2b_n$ (từ lá khác 1 có 1 cách về lá 1, 2 cách sang lá khác 1): $a_1=0$, $b_1=3$; $a_2=3$, $b_2=6$; $a_3=6$, $b_3=21$; $a_4=21$, $b_4=60$; $a_5=60$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nhảy $1\to x$ rồi $x\to 1$ với $x\in \{2,3,4\}$: $a_2=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách sau 2 lần nhảy là $3^2=9$, nên $b_2=9-3=6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$a_{n+1}=b_n$ vì từ mỗi trạng thái khác lá 1 chỉ có đúng 1 cách nhảy về lá 1; mà $a_1=0$ nên $b_n-a_1=b_n=a_{n+1}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Truy hồi $a_{n+1}=b_n$, $b_{n+1}=3a_n+2b_n$ cho $a_2=3$, $a_3=6$, $a_4=21$, $a_5=60$.