Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$, $SA\perp (ABCD)$. Khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SAC)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có độ dài các cạnh bằng $2$, điểm $A$ trùng với gốc tọa độ (như hình vẽ). Tọa độ của véctơ $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ là

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=2$ và công bội $q=3$. Số hạng $u_3$ của cấp số nhân đã cho là

Cho $a,b,c$ là các số thực dương, $a\ne 1$ và ${\log }_{a}b=6$, ${\log }_{a}c=10$. Giá trị của biểu thức ${\log }_{\sqrt{a}}\left(\frac{b}{c}\right)$ là

Khảo sát thời gian chạy bộ trong một ngày của một số học sinh khối 12 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:



Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu này là

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ. Hàm số $g(x)=f(x)-2$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau. Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng $OAFPE.CBGQH$ với $OAFE$ là hình chữ nhật và $EFP$ là tam giác cân tại $P$. Biết $OA=4\text{ m}$; $AB=5\text{ m}$; $HC=3\text{ m}$; độ dốc của mái nhà, tức là số đo góc nhị diện $[Q,FG,H]$ bằng $45^{\circ }$. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ là điểm $O$ và các trục tọa độ tương ứng như hình vẽ dưới đây (đơn vị trên mỗi trục là $1\text{ m}$). Khi đó:

Điểm trung bình môn Toán cuối năm của các học sinh lớp 12A và 12B được thống kê ở bảng sau:



Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên.

Cho hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ $(C)$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Một công ty xây dựng đấu thầu $3$ dự án $A,B$ và $C$. Xác suất để ba dự án $A,B$ và $C$ trúng thầu tương ứng là $x,y$ và $0,6$ ($x>y$). Biết rằng xác suất để ít nhất một trong ba dự án trúng thầu là $0,976$ và xác suất để cả ba dự án đều trúng thầu là $0,336$. Giả sử việc trúng thầu của ba dự án $A,B$ và $C$ là độc lập với nhau. Tính $x+2y$?

Hằng tháng nhà máy $A$ cung cấp cho nhà máy $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của $B$ (tối đa $100$ tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm một tháng thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm được biểu diễn bởi công thức: $P(x)=30-0,001x^2$ (triệu đồng). Chi phí để $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x)=65+15x$ (triệu đồng). Hỏi lợi nhuận lớn nhất nhà máy $A$ có thể thu được trong một tháng khi bán hàng cho nhà máy $B$ là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Nếu $D_0$ là chênh lệch nhiệt độ ban đầu giữa một vật $M$ và các vật xung quanh, nếu các vật xung quanh ban đầu có nhiệt độ $T_S$ thì nhiệt độ của vật $M$ tại thời điểm $t$ được mô hình hóa bởi hàm số: $T(t)=T_S+D_0\cdot e^{-kt}$ $(1)$ (trong đó $k$ là hằng số dương phụ thuộc vào vật $M$). Một con gà tây nướng được lấy từ lò nướng khi nhiệt độ của nó đã đạt đến $195^{\circ }\text{F}$ và được đặt trên một bàn trong một căn phòng có nhiệt độ là $65^{\circ }\text{F}$. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu phút thì nhiệt độ gà tây nướng không vượt quá $95^{\circ }\text{F}$ (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng nhiệt độ của gà tây nướng là $150^{\circ }\text{F}$ sau nửa giờ.

Trong hệ trục tọa độ $(Oxy)$ cho đồ thị hàm số $(C):y=\frac{x^2-x+1}{x-1}$ mô tả chuyển động của hai tàu đánh cá $A$ và $B$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ tính bằng $\text{km}$). Biết quỹ đạo chuyển động của hai tàu luôn thuộc về hai nhánh khác nhau của đồ thị $(C)$. Tính khoảng cách ngắn nhất (đơn vị $\text{km}$) giữa hai tàu đánh cá $A$ và $B$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một chiếc khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài $20\text{ cm}$, chiều rộng $10\text{ cm}$, chiều cao $9\text{ cm}$ (hình a). Để san bớt nước cho đỡ đầy, người ta đổ nước từ chiếc khay thứ nhất đó sang chiếc khay thứ hai có dạng hình chóp cụt tứ giác đều với đáy khay là hình vuông nhỏ có đường chéo dài $n\text{ (cm)}$, miệng khay là hình vuông lớn có đường chéo dài $2n\text{ (cm)}$ (hình b). Sau khi đổ, mực nước ở khay thứ hai cao bằng $\frac{2}{5}$ chiều cao của khay đó và lượng nước trong khay thứ nhất giảm đi $\frac{1}{4}$ so với ban đầu. Thể tích của chiếc khay thứ hai theo đơn vị centimét khối có kết quả chính xác đến hàng đơn vị là $a{\text{ (cm}}^3\text{)}$, Tổng các chữ số của số $a$ bằng bao nhiêu?

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát $2,5\text{ km}$ về phía nam và $2\text{ km}$ về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0,8\text{ km}$. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $1,5\text{ km}$ về phía bắc và $3\text{ km}$ về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0,6\text{ km}$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (coi như phẳng) có trục $Ox$ hướng về phía nam, trục $Oy$ hướng về phía đông và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời (đơn vị đo mỗi trục là $\text{km}$). Trên mặt đất, người ta xác định được một vị trí sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó đến hai chiếc khinh khí cầu là nhỏ nhất. Hỏi khoảng cách từ điểm xuất phát đến vị trí đó bằng bao nhiêu $\text{km}$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?