Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tổng hữu hạn cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $S_n$ là tổng diện tích tô màu ở hình thứ $n$. Ở bước $k$, có $8^{k-1}$ hình vuông nhỏ chưa tô màu, mỗi hình diện tích $(8/9{)}^{k-1}$, chia thành 9 phần và tô 1 phần nên phần tô màu mới là $8^{k-1}\cdot \frac{1}{9^k}$. Do đó $S_n={\sum }_{k=1}^n\frac{8^{k-1}}{9^k}=\frac{1}{9}\cdot \frac{1-(8/9{)}^n}{1-8/9}=1-{\left(\frac{8}{9}\right)}^n$. a) Hình thứ nhất chỉ tô 1 trong 9 phần bằng nhau: $S_1=\frac{1}{9}d{m}^2$, đúng. b) $S_2=1-{\left(\frac{8}{9}\right)}^2=\frac{17}{81}\ne \frac{17}{9}$; $S_3=1-{\left(\frac{8}{9}\right)}^3=\frac{217}{729}\ne \frac{207}{729}$, sai. c) Công thức đúng là $S_n=1-{\left(\frac{8}{9}\right)}^n$, không phải ${\left(\frac{1}{9}\right)}^n$, sai. d) $1-\frac{26281}{59049}=\frac{32768}{59049}={\left(\frac{8}{9}\right)}^5\Rightarrow n=5$, tức hình thứ 5 chứ không phải hình thứ 6, sai. Kết quả Đ-S-S-S khớp đáp án mã đề 101 (DSSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình thứ nhất chia hình vuông $1d{m}^2$ thành 9 phần bằng nhau và tô 1 phần: $S_1=\frac{1}{9}d{m}^2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S_2=1-{\left(\frac{8}{9}\right)}^2=\frac{17}{81}d{m}^2$ (không phải $\frac{17}{9}$) và $S_3=1-{\left(\frac{8}{9}\right)}^3=\frac{217}{729}d{m}^2$ (không phải $\frac{207}{729}$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng diện tích tô màu ở hình thứ $n$ là $S_n=1-{\left(\frac{8}{9}\right)}^n$, không phải ${\left(\frac{1}{9}\right)}^n$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$1-{\left(\frac{8}{9}\right)}^n=\frac{26281}{59049}\Rightarrow {\left(\frac{8}{9}\right)}^n=\frac{32768}{59049}={\left(\frac{8}{9}\right)}^5\Rightarrow n=5$: hình thứ 5, không phải hình thứ 6.

(AI giải đề cho tôi)
Gia đình ông An dùng 347 số = 34 bậc đầy đủ (mỗi bậc 10 số) cộng 7 số đầu của bậc 35. Giá mỗi số ở bậc $n$ là $800\cdot 1,025^{n-1}$ (đồng).

Tiền cho 34 bậc đầu: $S_1=10\cdot 800\cdot \frac{1,025^{34}-1}{0,025}$. Tính $1,025^{34}\approx 2,315323$, nên $S_1=8000\cdot \frac{1,315323}{0,025}\approx 420903,36$ đồng.

Tiền cho 7 số của bậc 35: $S_2=7\cdot 800\cdot 1,025^{34}\approx 12965,81$ đồng.

Tổng: $S\approx 433869,17$ đồng, làm tròn thành số tự nhiên $433869$ có dạng $abc86d$ với $a=4,b=3,c=3,d=9$.

Vậy $a+b+c+d=4+3+3+9=19$.

(AI giải đề cho tôi)
Ngày thứ $n$, Aladin có $5\cdot 2^{n-1}$ điều ước, trong đó dùng $5\cdot 2^{n-1}-1$ điều cho bản thân và $1$ điều để gia hạn. Tổng sau 10 ngày: ${\sum }_{n=1}^{10}(5\cdot 2^{n-1}-1)=5(2^{10}-1)-10=5\cdot 1023-10=5115-10=5105$. Vậy tổng số điều ước đã sử dụng là $5105$.

Diện tích hình vuông ban đầu là $3^2=9$. Sau $3$ lần chia, diện tích phần được tô màu là $S=9\left[1-{\left(\frac{8}{9}\right)}^3\right]=\frac{217}{81}$.

Gọi $u_n$ là tổng tiền lương nhận được trong 3 năm lần thứ $n$ (chu kỳ 36 tháng).
Khoảng thời gian 20 năm tương ứng với 6 chu kỳ 3 năm đầu và $\frac{2}{3}$ của chu kỳ 3 năm thứ 7 (tức 2 năm cuối).

- Phương án 1:
Tổng lương 3 năm đầu: $u_1=10\times 36=360\text{ triệu đoˆˋng}$.
Mỗi tháng tăng 6 triệu đồng nên sau 3 năm tăng $d=6\times 36=216\text{ triệu đoˆˋng}$. Dãy $(u_n)$ là cấp số cộng có $u_1=360,d=216$.
Tổng lương sau 20 năm:
$S_1=S_6+\frac{2}{3}{u}_7=\frac{6}{2}(2\cdot 360+5\cdot 216)+\frac{2}{3}(360+6\cdot 216)=3\cdot 1800+\frac{2}{3}\cdot 1656=5400+1104=6504\text{ triệu đoˆˋng}$.

- Phương án 2:
Mỗi tháng tăng $40\%$ nên tổng lương chu kỳ sau bằng $1+40\%=1,4$ lần chu kỳ trước. Dãy $(u_n)$ là cấp số nhân với $u_1=360,q=1,4$.
Tổng lương sau 20 năm:
$S_2=S_6+\frac{2}{3}{u}_7=360\cdot \frac{1,4^6-1}{1,4-1}+\frac{2}{3}\cdot 360\cdot 1,4^6=900(1,4^6-1)+240\cdot 1,4^6=1140\cdot 1,4^6-900$.
Tính toán: $1,4^6=7,529536$.
$S_2=1140\cdot 7,529536-900=8583,671-900=7683,671\approx 7684\text{ triệu đoˆˋng}$.

Số tiền chênh lệch:
$S_2-S_1=7683,671-6504=1179,671\approx 1180\text{ triệu đoˆˋng}$.