Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Chọn B
Điều kiện: $x+y-1>0$.
Từ giả thiết $2^{(x-1)(x+1)}\ln \left[(x+1{)}^2+1\right]=2^{y-x-3}\ln \sqrt{x+y-1}$
$\iff 2^{x^2-1}\ln \left[x^2+2x+2\right]=2^{y-x-4}\ln (x+y-1)$
$\iff 2^{x^2+3}\ln \left(x^2+2x+2\right)=2^{y-x}\ln (x+y-1)$
$\iff 2^{x^2+2x+2}\ln \left(x^2+2x+2\right)=2^{x+y-1}\ln (x+y-1)$.
Vì $x,y\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên suy ra $x+y\ge 2$. Do đó: $x+y-1\ge 1$.
Xét hàm số $f(t)=2^t\ln t$ trên $[1;+\infty )$.
Ta có $f^{\prime }(t)=2^t\cdot \ln 2\cdot \ln t+2^t\cdot \frac{1}{t}>0,\forall t\ge 1$.
Suy ra hàm số đồng biến trên $[1;+\infty )$.
Ta thấy $f\left(x^2+2x+2\right)=f(x+y-1)$.
Suy ra $\Rightarrow x^2+2x+2=x+y-1$
$\iff y=x^2+x+3\le 2025$.
$\iff x^2+x-2022\le 0\Rightarrow x\in \left[1;\frac{-1+\sqrt{8089}}{2}\right]$
Vậy có 44 giá trị nguyên của $x$.

$3^{x^2+mx+1}=(3+mx)\cdot 3^{9x}\iff 3^{x^2+mx+1-9x}-(3+mx)=0(1)$
Để phương trình có nghiệm $3+mx>0$ (do $3^{x^2+mx+1-9x}>0,\forall x\in \mathbb{R}$)
Khi đó, $3+mx>0\iff m>\frac{-3}{x}\iff m>-3$ (do $1<x<9$)
Xét hàm số $f(x)=3^{x^2+mx+1-9x}-(3+mx)$
Đạo hàm: $f^{\prime }(x)=\ln 3.(2x+m-9)3^{x^2+mx+1-9x}-m$
Đạo hàm cấp 2: $f^{\prime \prime }(x)=\ln \mathrm{3.2.}{3}^{x^2+mx+1-9x}+{\left(\ln 3.(2x+m-9)\right)}^2{3}^{x^2+mx+1-9x}>0$
Do đó $f^{\prime }(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow f^{\prime }(x)=0$ có nhiều nhất một nghiệm $\Rightarrow f(x)=0$ có nhiều nhất hai nghiệm.
Mặt khác $x=0$ là một nghiệm của phương trình $(1)$ nên để phương trình này có nghiệm $x\in (1;9)$ thì $(1)$ phải có đúng một nghiệm $x\in (1;9)$
$\Rightarrow f(1).f(9)<0\iff \left(3^{m-7}-3-m\right)\left(3^{1+m}-3-9m\right)<0$
Giải ra ta được $m\in \{-2;-1;1;...;9\}$ có 11 giá trị.

Ta có: $1=\log 10=\log 2+\log 5$ nên $\log 2=1-\log 5=1-a$.
Khi đó:
${\log }_{20}50=\frac{\log 50}{\log 20}=\frac{1+\log 5}{1+\log 2}=\frac{1+a}{2-a}\Rightarrow (m+n)-(p+q)=1$.

Ta có $5^{x+1}=7\iff x+1={\log }_{5}7\iff x=-1+{\log }_{5}7$

Ta có $5^{x-1}=7\iff x-1={\log }_{5}7\iff x=1+{\log }_{5}7$

Đáp số: 5,69

Gọi $H$ là trung điểm $AB$. $L_A=\log \frac{k}{O{A}^2}=5\iff O{A}^2=\frac{k}{10^5}$; $L_B=\log \frac{k}{O{B}^2}=7\iff O{B}^2=\frac{k}{10^7}$.

Trường hợp 1, điểm $O$ nằm gần điểm $A$: $OH=\frac{OB-OA}{2}$



$$L_H=\log \frac{k}{O{H}^2}=\log \frac{4k}{O{B}^2-2OA.OB+O{A}^2}=$$ $$=\log \frac{4k}{\frac{k}{10^7}-2.\frac{k}{10^6}+\frac{k}{10^5}}=\log \frac{4}{\frac{1}{10^7}-2.\frac{1}{10^6}+\frac{1}{10^5}}\approx 5,69$$

Trường hợp 2, điểm $O$ nằm gần điểm $B$: $OH=\frac{OA-OB}{2}$



$$L_H=\log \frac{k}{O{H}^2}=\log \frac{4k}{O{A}^2-2OA.OB+O{B}^2}=$$ $$=\log \frac{4k}{\frac{k}{10^5}-2.\frac{k}{10^6}+\frac{k}{10^7}}=\log \frac{4}{\frac{1}{10^5}-2.\frac{1}{10^6}+\frac{1}{10^7}}\approx 5,69$$

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định $D=\{x\mid x>2\}$.
a) $f(3)={\log }_2(2\cdot 3-4)={\log }_{2}2=1$, nên đồ thị đi qua $M(3;1)$. Đúng.
b) ${\log }_2(2x-4)={\log }_{\sqrt{2}}x-2=2{\log }_{2}x-2={\log }_2\frac{x^2}{4}$ (với $x>0$). Suy ra $2x-4=\frac{x^2}{4}\iff x^2-8x+16=0\iff x=4$ (thỏa $x>2$). Tập nghiệm $\{4\}$. Đúng.
c) Xét ${\log }_2(2x-4)>x-6$ với $x>2$. Kiểm tra các số nguyên: $x=3,4,5,6,7,8,9$ đều thỏa mãn (ví dụ $x=9$: ${\log }_{2}14\approx 3,807>3$); $x=10$: ${\log }_{2}16=4$ không lớn hơn $4$; với $x\ge 10$ thì $x-6$ tăng nhanh hơn nên không thỏa. Vậy có đúng 7 số nguyên, không phải 5. Sai.
d) ${\log }_{\sqrt{2}}(2x-4)=2{\log }_2(2x-4)$ còn ${\log }_2\sqrt{2x-4}=\frac{1}{2}{\log }_2(2x-4)$. Hai vế chỉ bằng nhau khi ${\log }_2(2x-4)=0$ tức $x=\frac{5}{2}$, không đúng với mọi $x\in D$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(3)={\log }_{2}2=1$ nên đồ thị đi qua $M(3;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_2(2x-4)={\log }_2(x^2/4)\Rightarrow 2x-4=x^2/4\Rightarrow x=4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Các số nguyên $x=3,4,5,6,7,8,9$ thỏa mãn, tức 7 số nguyên chứ không phải 5.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{\sqrt{2}}(2x-4)=2{\log }_2(2x-4)\ne \frac{1}{2}{\log }_2(2x-4)={\log }_2\sqrt{2x-4}$ nói chung.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, theo tính chất logarit của một tích: ${\log }_7(7a)={\log }_{7}7+{\log }_{7}a=1+{\log }_{7}a$. Vậy đáp án đúng là B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x-1>0\iff x>\frac{1}{2}$. Phương trình ${\log }_3(2x-1)=2\iff 2x-1=3^2=9\iff x=5$, thỏa mãn điều kiện. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-1>0\iff x>1$. Phương trình ${\log }_3(x-1)=2\iff x-1=3^2=9\iff x=10$ (thỏa điều kiện). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-1>0\iff x>1$. Phương trình ${\log }_2(x-1)=3\iff x-1=2^3=8\iff x=9$ (thỏa điều kiện). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tính $P={\log }_{2}8+{\log }_{3}27-{\log }_5{5}^3=3+3-3=3$. Tính $Q=\ln (2e)-\log 100=\ln 2+1-2=\ln 2-1$.
a) $P+Q=3+\ln 2-1=\ln 2+2\ne 2\ln 2$ → Sai.
b) $Q-P=(\ln 2-1)-3=\ln 2-4$ → Đúng.
c) $3Q+P=3(\ln 2-1)+3=3\ln 2$ → Đúng.
d) $2Q+P=2(\ln 2-1)+3=2\ln 2+1$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P=3$, $Q=\ln 2-1$ nên $P+Q=\ln 2+2\ne 2\ln 2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$Q-P=(\ln 2-1)-3=\ln 2-4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3Q+P=3(\ln 2-1)+3=3\ln 2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$2Q+P=2(\ln 2-1)+3=2\ln 2+1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3: a) $2^{{\log }_{2}3}=3$, ${\log }_{\sqrt{3}}3=2$ nên $A=3-2=1\le 2$, khẳng định $A>2$ sai. b) $\ln 2\cdot {\log }_{2}4\cdot {\log }_{4}3\cdot {\log }_{3}2=\ln 2\cdot 2\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\ln 2$ và $5^{{\log }_5(\ln 2)}=\ln 2$ nên $B=\ln 2-\ln 2=0$, đúng. c) Tính từ trong ra: $\sqrt{a}=a^{1/2}$; $a\sqrt{a}=a^{3/2}$; $\sqrt{a\sqrt{a}}=a^{3/4}$; $a\sqrt{a\sqrt{a}}=a^{7/4}$; $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=a^{7/8}$. Vậy $C={\log }_a{a}^{7/8}=\frac{7}{8}<1$, khẳng định $C>1$ sai. d) $\sqrt{a^3}=a^{3/2}$, $a\sqrt[4]{a}=a^{5/4}$ nên $\frac{\sqrt{a^3}}{a\sqrt[4]{a}}=a^{1/4}$, do đó $D=\frac{1}{4}$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$A=2^{{\log }_{2}3}-{\log }_{\sqrt{3}}3=3-2=1\le 2$, nên khẳng định $A>2$ sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\ln 2\cdot {\log }_{2}4\cdot {\log }_{4}3\cdot {\log }_{3}2=\ln 2\cdot 2\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\ln 2$ và $5^{{\log }_5(\ln 2)}=\ln 2$, nên $B=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tính từ trong ra: $\sqrt{a}=a^{1/2}$; $a\sqrt{a}=a^{3/2}$; $\sqrt{a\sqrt{a}}=a^{3/4}$; $a\sqrt{a\sqrt{a}}=a^{7/4}$; $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=a^{7/8}$. Vậy $C=\frac{7}{8}<1$, khẳng định $C>1$ sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{\sqrt{a^3}}{a\sqrt[4]{a}}=\frac{a^{3/2}}{a^{5/4}}=a^{1/4}$, nên $D=\frac{1}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2^{2x}=8\iff 2^{2x}=2^3\iff 2x=3\iff x=\frac{3}{2}=1,5$. Vậy nghiệm là $x=1,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $3^{2x-2}=27=3^3$ suy ra $2x-2=3$, tức $x=\frac{5}{2}=2,5$. Vậy nghiệm là $x=2,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $3x-5>0\iff x>\frac{5}{3}$. Từ ${\log }_3(3x-5)=2$ suy ra $3x-5=3^2=9$, nên $3x=14$, $x=\frac{14}{3}\approx 4,67$. Nghiệm này thỏa mãn điều kiện. Vậy $x\approx 4,67$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $3x+9>0\iff x>-3$. Phương trình ${\log }_2(3x+9)=5\iff 3x+9=2^5=32\iff 3x=23\iff x=\frac{23}{3}\approx 7,67$ (thỏa mãn điều kiện). Vậy nghiệm làm tròn đến hàng phần trăm là $7,67$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $-x+2>0\iff x<2$. Phương trình ${\log }_{\frac{1}{4}}(-x+2)=-2\iff -x+2={\left(\frac{1}{4}\right)}^{-2}=16\iff x=-14$. Thử lại: $-(-14)+2=16>0$, thỏa mãn. Vậy $x=-14$.

(AI giải đề cho tôi)
Độ phóng xạ còn lại bằng 86% độ phóng xạ ban đầu: $0,86H_0=H_0{e}^{-\lambda t}\Rightarrow e^{-\lambda t}=0,86\Rightarrow t=\frac{-\ln 0,86}{\lambda }=\frac{\ln (1/0,86)}{\ln 2}\cdot T$. Tính: $\ln (1/0,86)\approx 0,15082$, $\ln 2\approx 0,69315$, nên $t\approx 0,21759\times 5730\approx 1246,8$ năm. Vậy độ tuổi của mẫu gỗ cổ khoảng $1247$ năm (làm tròn).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $300=100e^{5r}$ suy ra $e^{5r}=3$, tức $r=\frac{\ln 3}{5}$. Số vi khuẩn tăng gấp đôi khi $100e^{rt}=200\Rightarrow e^{rt}=2\Rightarrow t=\frac{\ln 2}{r}=\frac{5\ln 2}{\ln 3}\approx 3.1546$. Làm tròn đến hàng phần trăm: $t\approx 3.15$ giờ.