Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm có điều kiện xác định hằng số (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2+a}{x-1}=x+1+\frac{a+1}{x-1}$, nên $F(x)=\frac{x^2}{2}+x+(a+1)\ln |x-1|+C$. Với $F(0)=1$: $\ln 1=0\Rightarrow C=1$. Tại $x=1-e$ (thuộc $(-\infty ;1)$, $|x-1|=e$): $F(1-e)=\frac{(1-e{)}^2}{2}+(1-e)+(a+1)+1=\frac{e^2}{2}-2e+a+\frac{7}{2}$. So với $\frac{e^2}{2}-2e$ ta được $a=-\frac{7}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trên mỗi khoảng liên tục, $f(x)=\ln |2x-1|+C$. Với $x<\frac{1}{2}$: $f(0)=\ln 1+C=1\Rightarrow C=1$, nên $f(-2)=\ln 5+1$. Với $x>\frac{1}{2}$: $f(1)=\ln 1+C=2\Rightarrow C=2$, nên $f(3)=\ln 5+2$. Vậy $f(-2)+f(3)=3+2\ln 5$, tức $a=3,b=2$, $T=a+b=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f^{\prime }(x)=2{\sin }^{2}x+1=2-\cos 2x$, nguyên hàm $f(x)=2x-\frac{\sin 2x}{2}+C$. Vì $f(0)=4$ nên $C=4$, tức $f(x)=2x-\frac{\sin 2x}{2}+4$.
Khi đó ${\int }_0^{\pi /4}f(x)dx={\left[x^2+\frac{\cos 2x}{4}+4x\right]}_0^{\pi /4}=\frac{{\pi }^2}{16}+0+\pi -\left(0+\frac{1}{4}+0\right)=\frac{{\pi }^2+16\pi -4}{16}$.
Vậy $a=16,b=-4$, do đó $a+b=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F^{\prime }(x)=(2ax+b)\sqrt{2x-4}+\frac{a{x}^2+bx+c}{\sqrt{2x-4}}=\frac{(2ax+b)(2x-4)+a{x}^2+bx+c}{\sqrt{2x-4}}=\frac{5a{x}^2+(4b-8a)x+(c-4b)}{\sqrt{2x-4}}$. Đồng nhất với $f(x)=\frac{10x^2-13x-252}{\sqrt{2x-4}}$: $5a=10\Rightarrow a=2$; $4b-8a=-13\Rightarrow 4b=3\Rightarrow b=\frac{3}{4}$; $c-4b=-252\Rightarrow c=-255$. Vậy $T=abc=2\cdot \frac{3}{4}\cdot (-255)=-\frac{765}{2}=-382,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int f(x)dx=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C$ (trên từng khoảng của $\mathbb{R}\setminus \{0\}$, hằng số $C$ có thể khác nhau trên $(0;+\infty )$ và $(-\infty ;0)$).

a) Sai: nguyên hàm đúng là $\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C$, không phải $3+x-2\ln |x|+C$ (thiếu hệ số $\frac{3x^2}{2}$).

b) Sai: với $F(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C$ và $F(3)=15$ thì $\frac{27}{2}+3-2\ln 3+C=15\Rightarrow C=15-\frac{33}{2}+2\ln 3$, nên $F(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+15-\frac{33}{2}+2\ln 3$, khác biểu thức đã cho (thay $x=3$ vào biểu thức đã cho không cho $15$).

c) Đúng: ${\int }_1^{2}f(x)dx=\left(\frac{3x^2}{2}+x-2\ln x\right){|}_1^2=(6+2-2\ln 2)-\left(\frac{3}{2}+1\right)=\frac{11}{2}-2\ln 2$.

d) Đúng: Vì $G$ là nguyên hàm trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$, viết $G(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C_1$ với $x>0$ và $G(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C_2$ với $x<0$. Từ $G(2)=1$: $8-2\ln 2+C_1=1\Rightarrow C_1=-7+2\ln 2$. Từ $G(5)+G(-5)=10$: $\left(\frac{75}{2}+5-2\ln 5+C_1\right)+\left(\frac{75}{2}-5-2\ln 5+C_2\right)=75-4\ln 5+C_1+C_2=10\Rightarrow C_2=-58+4\ln 5-2\ln 2$. Khi đó $G(-10)=150-10-2\ln 10+C_2=140-2\ln 2-2\ln 5-58+4\ln 5-2\ln 2=82+2\ln 5-4\ln 2$. Vậy $a=-4,b=2,c=82\Rightarrow a+b+c=80$. Khớp với đáp án nguồn (S, S, Đ, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm đúng là $\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C$, không phải $3+x-2\ln |x|+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $F(3)=15$ suy ra $C=15-\frac{33}{2}+2\ln 3$, nên biểu thức $F(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+15$ đã cho không thỏa $F(3)=15$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2\left(3x+1-\frac{2}{x}\right)dx={\left[\frac{3x^2}{2}+x-2\ln x\right]}_1^2=8-2\ln 2-\frac{5}{2}=\frac{11}{2}-2\ln 2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hằng số nguyên hàm khác nhau trên hai khoảng $x>0$ và $x<0$: $C_1=-7+2\ln 2$ (từ $G(2)=1$), $C_2=-58+4\ln 5-2\ln 2$ (từ $G(5)+G(-5)=10$). Suy ra $G(-10)=82+2\ln 5-4\ln 2$, tức $a=-4,b=2,c=82$, vậy $a+b+c=80$.

Chọn D.
Ta có $f(x)=\int \frac{1}{x-2}dx=\ln |x-2|+C$.
- Với $x>2$: $f(x)=\ln (x-2)+C_1$. Vì $f(3)=\ln 1+C_1=2021\Rightarrow C_1=2021$.
Do đó $f(4)=\ln 2+2021$.
- Với $x<2$: $f(x)=\ln (2-x)+C_2$. Vì $f(1)=\ln 1+C_2=2020\Rightarrow C_2=2020$.
Do đó $f(0)=\ln 2+2020$.
Vậy $P=f(4)-f(0)=(\ln 2+2021)-(\ln 2+2020)=1$.

Chọn A.
Ta có:
${\left(\frac{f^2(x)}{x^2}\right)}^{\prime }=1\Rightarrow \frac{f^2(x)}{x^2}=x+C.$
Với $x=1$, ta có:
$\frac{f^2(1)}{1^2}=1+C\iff \frac{2^2}{1}=1+C\iff C=3.$
Suy ra $\frac{f^2(x)}{x^2}=x+3\iff f^2(x)=x^2(x+3)$.
Vì $f(x)>0,\forall x\in [1;+\infty )$ nên $f(x)=x\sqrt{x+3}$.
Vậy $f(2)=2\sqrt{2+3}=2\sqrt{5}$.