[TH] Cho hàm số $f(x)$. Biết $f(0)=4$ và $f^{\prime }(x)=2{\sin }^{2}x+1$, $\forall x\in \mathbb{R}$. Biết $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\frac{{\pi }^2+a\pi +b}{16};(a;b\in \mathbb{Z})$, tính $a+b$.

Khi nghiên cứu một quần thể vi khuẩn, người ta nhận thấy quần thể vi khuẩn đó ở ngày thứ $t$ có số lượng $N(t)$ con. Biết rằng tốc độ phát triển của quần thể đó là $N^{\prime }(t)=\frac{1000}{t}$ và sau ngày thứ nhất $(t=1)$ có 250 nghìn con. Số lượng vi khuẩn sau 10 ngày là bao nhiêu con (*làm tròn đến hàng đơn vị*)?

Biết $F(x)=\left(a{x}^2+bx+c\right)\sqrt{2x-4}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{10x^2-13x-252}{\sqrt{2x-4}}$ trên khoảng $(2;+\infty )$. Tính giá trị biểu thức $T=abc$.

Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=3x^2-4x+1$ và $F(2)=2$. Tính $F(3)$.

Tìm hàm số $f(x)$ biết rằng $f^{\prime }(x)=2x-6e^{-2x}$ và $f(0)=-2$.

Tìm $m$ để hàm số $F(x)=m{x}^3+(3m+2)x^2-4x+3$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=3x^2+10x-4$.

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=e^x-1$ trên $(-\infty ;+\infty )$, biết $F(0)=2$.