Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị chưa ghép nhóm (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu: 38, 40, 41, 42, 43, 47, 47, 47, 48, 50, 70, 80.
a) R = 80 − 38 = 42 ≠ 47 → sai.
b) Giá trị 47 xuất hiện 3 lần nên mốt = 47, không phải 3 → sai.
c) Q1 = (41+42)/2 = 41,5; Q3 = (48+50)/2 = 49; ΔQ = 49 − 41,5 = 7,5 → đúng.
d) Tổng = 593, mean = 593/12 ≈ 49,4167. Tổng bình phương độ lệch ≈ 1764,92; s² ≈ 1764,92/12 ≈ 147,08 ≈ 147 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = 80 − 38 = 42, không phải 47.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất: 47 (3 lần), không phải 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 41,5; Q3 = 49 nên ΔQ = 7,5.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mean ≈ 49,4167; s² ≈ 147,08 ≈ 147.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng tần số: mẫu có 40 giá trị, min = 0, max = 5.
a) Khoảng biến thiên R = 5 − 0 = 5 → Đúng.
b) Q1 ở vị trí thứ 0,25·40 = 10,25: tần số tích lũy tại x=2 là 3+5+7=15 ≥ 10,25 nên Q1 = 2. Q3 ở vị trí thứ 30,75: tần số tích lũy tại x=4 là 3+5+7+12+9=36 ≥ 30,75 nên Q3 = 4. Khoảng tứ phân vị ΔQ = 4 − 2 = 2 → Đúng.
c) Số trung bình x̄ = (0·3+1·5+2·7+3·12+4·9+5·4)/40 = 111/40 = 2,775. Σx²n = 0+5+28+108+144+100 = 385. Phương sai s² = 385/40 − 2,775² = 9,625 − 7,700625 = 1,924375 ≈ 1,92 ≠ 1,39 → Sai.
d) Số trung bình x̄ = 2,775 ≠ 5 → Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn (a Đ, b Đ, c S, d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
R = 5 − 0 = 5.
b) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 2, Q3 = 4 nên ΔQ = 2.
c) (AI giải đề cho tôi)
s² = 385/40 − 2,775² = 1,924375 ≈ 1,92 ≠ 1,39.
d) (AI giải đề cho tôi)
x̄ = 111/40 = 2,775 ≠ 5.

a) Đúng: $R=5-0=5$. b) Đúng: $Q_1=2$, $Q_3=4$ nên ${\Delta }_Q=2$. c) Sai: $\bar{x}=2,775$, $s^2\approx 1,92\ne 1,39$. d) Sai: $\bar{x}=2,775\ne 5$.
a) Giá trị lớn nhất là 5, nhỏ nhất là 0 nên khoảng biến thiên $R=5-0=5$.
b) Với $n=40$: $Q_1$ ở vị trí thứ $10,25$ nên $Q_1=2$; $Q_3$ ở vị trí thứ $30,75$ nên $Q_3=4$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=4-2=2$.
c) Số trung bình $\bar{x}=\frac{0\cdot 3+1\cdot 5+2\cdot 7+3\cdot 12+4\cdot 9+5\cdot 4}{40}=\frac{111}{40}=2,775$. Phương sai $s^2=\frac{0^2\cdot 3+1^2\cdot 5+2^2\cdot 7+3^2\cdot 12+4^2\cdot 9+5^2\cdot 4}{40}-{\bar{x}}^2=9,625-7,700625\approx 1,92\ne 1,39$.
d) Số trung bình $\bar{x}=2,775\ne 5$.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp dãy: 32, 34, 35, 37, 39, 42, 43 ($n=7$). $Q_1$ ở vị trí $(n+1)/4=2$ nên $Q_1=34$; $Q_3$ ở vị trí $3(n+1)/4=6$ nên $Q_3=42$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_q=Q_3-Q_1=42-34=8$. Khớp đáp án A (mã đề 102, câu 12: A).

Cách 1: Sử dụng công thức $\Delta Q=Q_3-Q_1$. Trước hết cần xác định, $Q_3,Q_1$.

37;38;38;39;39;40 | 40;40;41;41;42;43

Thực chất $Q_1$ là trung vị của nửa mẫu số liệu bên trái và $Q_3$ là trung vị của nửa mẫu số liệu bên phải.
Vậy nên $Q_1=38,5$; $Q_3=41\Rightarrow \Delta Q=41-38,5=2,5$.
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay, nhập mẫu số liệu trên vào máy tính.

MENU + (6) Statistics + (1) Variable + Nhập MSL vào + OPTN + (3) Variable

Sau đó, bấm mũi tên xuống dưới, nhìn vào phần tử phân vị thấy $Q_1=38,5$; $Q_3=41\Rightarrow \Delta Q=41-38,5=2,5$.
Đáp án: 2,5

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng tần số: $x_{\max }=145$ (a đúng), $x_{\min }=129$ (b đúng), khoảng biến thiên $R=145-129=16$ chứ không phải 15 (c sai). Với d, phân nhóm: $[127,5;130,5)$ chứa 129,130 → 1+2=3 đúng; $[130,5;133,5)$ chứa 133 → 1 đúng; $[133,5;136,5)$ chứa 134,135,136 → 1+1+2=4 đúng; $[136,5;139,5)$ chứa 138 → 3 đúng; $[139,5;142,5)$ chứa 141,142 → 3+4=7 (không phải 9); $[142,5;145,5)$ chứa 143,144,145 → 5+2+5=12 (không phải 10). Tổng 3+1+4+3+7+12=30 nên bảng d sai ở hai nhóm cuối → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị lớn nhất trong bảng là 145 (xuất hiện 5 lần), nên $x_{\max }=145$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị nhỏ nhất trong bảng là 129 (xuất hiện 1 lần), nên $x_{\min }=129$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $R=x_{\max }-x_{\min }=145-129=16$, không phải 15.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bốn nhóm đầu đúng (3, 1, 4, 3), nhưng nhóm $[139,5;142,5)$ phải là 3+4=7 (chứa 141 và 142) và nhóm $[142,5;145,5)$ phải là 5+2+5=12 (chứa 143, 144, 145), không phải 9 và 10. Tổng 3+1+4+3+7+12=30 khớp cỡ mẫu, chứng tỏ bảng trong đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng số liệu: $x_{\max }=174$, $x_{\min }=160$ nên a, b đúng. Khoảng biến thiên $R=174-160=14\ne 15$ nên c sai. Với bảng tần số ghép nhóm: nhóm [160;163) có $1+2+3=6$; nhóm [163;166) có $3+4+5=12$ (không phải 10); nhóm [166;169) có $4+2+4=10$ (không phải 12); nhóm [169;172) có $2+1+2=5$ (không phải 3); nhóm [172;175) có $2+1=3$. Tổng $6+12+10+5+3=36$ đúng nhưng bảng trong đề sai ở các nhóm [163;166), [166;169), [169;172) nên d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị lớn nhất trong mẫu số liệu là 174, nên $x_{\max }=174$ đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu là 160, nên $x_{\min }=160$ đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $R=x_{\max }-x_{\min }=174-160=14\ne 15$, nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đếm theo nhóm: [160;163): 6; [163;166): 12; [166;169): 10; [169;172): 5; [172;175): 3. Bảng trong đề ghi 6, 10, 12, 3, 3 nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh $n=47$. Tần số tích lũy: điểm 3: 1; 3,5: 8; 4: 13; 4,5: 17; 5: 21; 5,5: 28; 6: 34; 6,5: 38; 7: 39; 7,5: 44; 8: 47.

a) $\frac{n}{4}=11,75$ nên $Q_1$ là giá trị thứ 12: $Q_1=4$. $\frac{3n}{4}=35,25$ nên $Q_3$ là giá trị thứ 36: $Q_3=6,5$. Vậy ${\Delta }_Q=6,5-4=2,5$ → đúng.

b) $R=x_{\max }-x_{\min }=8-3=5$ → đúng.

c) Số trung bình $\bar{x}=\frac{254,5}{47}\approx 5,415$. $\sum f_i{x}_i^2=1474,75$, phương sai $s^2=\frac{1474,75}{47}-{\bar{x}}^2\approx 2,057$, $s\approx 1,43<2$ → đúng.

d) $\frac{n}{2}=23,5$ nên trung vị là giá trị thứ 24, thuộc nhóm điểm 5,5 (tần số tích lũy đạt 28 tại 5,5). Vậy trung vị là $5,5$, không phải 6 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$Q_1=4$, $Q_3=6,5$ nên ${\Delta }_Q=2,5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$R=8-3=5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}\approx 5,415$, $s\approx 1,43<2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trung vị là giá trị thứ 24 bằng 5,5, không phải 6.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có 20 giá trị đã sắp xếp: 150, 152, 153, 154, 156, 157, 159, 160, 161, 162, 164, 165, 167, 168, 170, 172, 174, 177, 178, 181.

a) Nửa dưới (10 giá trị): 150, 152, 153, 154, 156, 157, 159, 160, 161, 162 nên $Q_1=\frac{156+157}{2}=156,5$. Nửa trên (10 giá trị): 164, 165, 167, 168, 170, 172, 174, 177, 178, 181 nên $Q_3=\frac{170+172}{2}=171$. Khoảng tứ phân vị $IQR=Q_3-Q_1=171-156,5=14,5$ → Đúng.

b) Giới hạn ngoại lệ: $[Q_1-1,5\cdot IQR;Q_3+1,5\cdot IQR]=[156,5-21,75;171+21,75]=[134,75;192,75]$. Vì $134,75<181<192,75$ nên 181 không phải giá trị ngoại lệ → Sai.

c) Khoảng biến thiên $R=181-150=31$ → Đúng.

d) Trung vị $=\frac{162+164}{2}=163$ → Đúng.

Kết quả khớp với đáp án chính thức (1a: Đ, 1b: S, 1c: Đ, 1d: Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$Q_1=156,5$, $Q_3=171$, nên $IQR=14,5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn ngoại lệ là $[134,75;192,75]$, chứa 181, nên 181 không phải ngoại lệ.
c) (AI giải đề cho tôi)
$R=181-150=31$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trung vị $=\frac{162+164}{2}=163$.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu đã được sắp xếp: 150, 152, 153, 154, 156, 157, 159, 160, 161, 162, 164, 165, 167, 168, 170, 172, 174, 177, 178, 181 (n = 20).
a) Khoảng biến thiên R = 181 − 150 = 31 → Đúng.
b) Q1 là trung vị của 10 giá trị đầu = (156+157)/2 = 156,5; Q3 là trung vị của 10 giá trị cuối = (170+172)/2 = 171; IQR = 171 − 156,5 = 14,5. Giới hạn: [156,5 − 1,5·14,5; 171 + 1,5·14,5] = [134,75; 192,75]. Vì 181 ∈ [134,75; 192,75] nên 181 không phải giá trị ngoại lệ → Sai.
c) IQR = 14,5 → Đúng.
d) Trung vị = (162+164)/2 = 163 → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = 181 − 150 = 31.
b) (AI giải đề cho tôi)
IQR = 14,5; khoảng [134,75; 192,75] chứa 181 nên 181 không phải ngoại lệ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 156,5; Q3 = 171; IQR = 14,5.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trung vị = (162+164)/2 = 163.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu ($n=10$): 6; 8; 13; 15; 15; 18; 19; 23; 23; 25. Chia mẫu thành hai nửa: nửa dưới là 6; 8; 13; 15; 15 nên $Q_1=13$; nửa trên là 18; 19; 23; 23; 25 nên $Q_3=23$. Khoảng tứ phân vị $IQR=Q_3-Q_1=23-13=10$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 9: A sai vì các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn) đều không âm. B sai vì khoảng tứ phân vị dựa trên $Q_1$ và $Q_3$, không dùng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. C đúng: khoảng biến thiên $R=x_{\max }-x_{\min }$ chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, bỏ qua các giá trị còn lại. D sai vì dữ liệu càng tập trung quanh trung bình thì độ lệch chuẩn càng nhỏ.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có $n=20$ giá trị đã sắp xếp. Tứ phân vị thứ nhất: $Q_1$ là trung bình cộng của giá trị thứ 5 và thứ 6: $Q_1=\frac{9+11}{2}=10$. Tứ phân vị thứ ba: $Q_3$ là trung bình cộng của giá trị thứ 15 và thứ 16: $Q_3=\frac{31+33}{2}=32$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=32-10=22$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu (n = 10): 21, 24, 25, 27, 28, 30, 33, 34, 35, 36. Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của 5 giá trị đầu: Q1 = 25. Tứ phân vị thứ ba là trung vị của 5 giá trị cuối: Q3 = 34. Khoảng tứ phân vị Δ_Q = Q3 − Q1 = 34 − 25 = 9. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu ($n=15$): 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 14. Khoảng biến thiên $R=14-6=8$. $Q_1$ là giá trị thứ $(15+1)/4=4$ → $Q_1=8$; $Q_3$ là giá trị thứ $3(15+1)/4=12$ → $Q_3=12$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=12-8=4$. Vậy $R=8$ và ${\Delta }_Q=4$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng mẫu số liệu hai vùng đều bằng 335 nên trung bình cùng bằng 335/7 ≈ 47,86 → A đúng. Khoảng biến thiên: A = 54 − 41 = 13, B = 52 − 43 = 9 → D đúng. Khoảng tứ phân vị: vùng A có Q1 = 44, Q3 = 53 nên Δq = 9; vùng B có Q1 = 44, Q3 = 51 nên Δq = 7 → B đúng. Phương sai vùng A (các số liệu phân tán hơn) lớn hơn vùng B, nên vùng B ổn định hơn vùng A; khẳng định C sai.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu (n=20): 29, 36, 38, 39, 39, 40, 40, 40, 41, 41, 41, 41, 42, 42, 42, 43, 43, 44, 45, 48. (a) Giá trị nhỏ nhất là 29 → đúng. (b) Giá trị lớn nhất là 48 → đúng. (c) Tính theo cách chia mẫu thành hai nửa: Q1 = (39+40)/2 = 39,5; Q3 = (42+43)/2 = 42,5 nên Δ_Q = 42,5 − 39,5 = 3 ≠ 2 (theo công thức nội suy: Q1 = 39,25; Q3 = 42,75; Δ_Q = 3,5, cũng ≠ 2) → sai. (d) Khoảng biến dị ngoại lai với Δ_Q = 3: [Q1 − 1,5Δ_Q; Q3 + 1,5Δ_Q] = [35; 46,5]. Giá trị 29 < 35 là ngoại lai, còn 48 nằm ngoài khoảng này nhưng 48 > 46,5 nên 48 cũng là ngoại lai; tuy nhiên nếu dùng Δ_Q = 3,5 (nội suy) thì [34; 48] chứa 48, khi đó chỉ 29 ngoại lai. Theo cách tính chuẩn (Q1 = 39,5; Q3 = 42,5; Δ_Q = 3), cả 29 và 48 đều là giá trị bất thường → mệnh đề (d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị nhỏ nhất trong mẫu là 29.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị lớn nhất trong mẫu là 48.
c) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 39,5; Q3 = 42,5 nên Δ_Q = 3 ≠ 2 (nếu nội suy thì Δ_Q = 3,5, cũng khác 2).
d) (AI giải đề cho tôi)
Với Q1 = 39,5; Q3 = 42,5; Δ_Q = 3, khoảng [Q1 − 1,5Δ_Q; Q3 + 1,5Δ_Q] = [35; 46,5]; 29 và 48 đều nằm ngoài khoảng nên đều là giá trị bất thường.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu (n = 9) theo thứ tự tăng dần: 7, 8, 11, 13, 15, 18, 19, 20, 22.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n+1}{4}=\frac{10}{4}=2,5$, tức nằm giữa giá trị thứ 2 và thứ 3:
$$Q_1=\frac{8+11}{2}=9,5.$$

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3(n+1)}{4}=7,5$, tức nằm giữa giá trị thứ 7 và thứ 8:
$$Q_3=\frac{19+20}{2}=19,5.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=19,5-9,5=10.$$