Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khoảng biến thiên và IQR mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
$n=53$, nên $\frac{n}{4}=13,25$ thuộc nhóm $[45;50)$ (tần số tích lũy trước là 5): $Q_1=45+5\cdot \frac{13,25-5}{20}=47,0625$. $\frac{3n}{4}=39,75$ thuộc nhóm $[50;55)$ (tần số tích lũy trước là 25): $Q_3=50+5\cdot \frac{39,75-25}{18}=50+\frac{73,75}{18}\approx 54,0972$. Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1\approx 54,0972-47,0625\approx 7,03$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $R=70-40=30$. Tứ phân vị: $\frac{n}{4}=11$, tần số tích lũy: 4, 18, 26, 36, 42, 44 nên $Q_1$ thuộc nhóm [45;50): $Q_1=45+\frac{11-4}{14}\cdot 5=47,5$. $\frac{3n}{4}=33$ nên $Q_3$ thuộc nhóm [55;60): $Q_3=55+\frac{33-26}{10}\cdot 5=58,5$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=58,5-47,5=11$. Tổng $R+{\Delta }_Q=30+11=41$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng hiệu hai đầu mút của các lớp: $45-25=20$ phút. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc: $43-27=16$ phút. Vậy khẳng định A đúng (ghép nhóm là 20 phút); B sai; C sai (gốc là 16); D sai vì $20>16$.

(AI giải đề cho tôi)
$n=56$, tần số tích lũy: 3, 15, 30, 54, 56. Vị trí $Q_1$: $\frac{n}{4}=14$ thuộc nhóm $[12,5;15,5)$ nên $Q_1=12,5+\frac{14-3}{12}\cdot 3=12,5+2,75=15,25$. Vị trí $Q_3$: $\frac{3n}{4}=42$ thuộc nhóm $[18,5;21,5)$ nên $Q_3=18,5+\frac{42-30}{24}\cdot 3=18,5+1,5=20$. Vậy ${\Delta }_Q=20-15,25=4,75$.

(AI giải đề cho tôi)
$n=35$, vị trí $Q_1$ là $\frac{35+1}{4}=8,75$, vị trí $Q_3$ là $\frac{3(35+1)}{4}=26,25$. Tần số tích lũy: $5;14;25;31;36$. Ta có $Q_1$ thuộc nhóm $[18;21)$: $Q_1=18+\frac{8,75-5}{9}\cdot 3=19,25$. $Q_3$ thuộc nhóm $[24;27)$: $Q_3=24+\frac{26,25-25}{6}\cdot 3=24,625$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=24,625-19,25=5,375\approx 5,38$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=35$. Vị trí tứ phân vị: $\frac{n}{4}=8,75$ nằm trong nhóm $[18;21)$ (tần số 9, tần số tích tụ trước là 5), nên $$Q_1=18+\frac{3(8,75-5)}{9}=18+1,25=19,25.$$ Vị trí $\frac{3n}{4}=26,25$ nằm trong nhóm $[24;27)$ (tần số 6, tần số tích tụ trước là 25), nên $$Q_3=24+\frac{3(26,25-25)}{6}=24+0,625=24,625.$$ Khoảng tứ phân vị: $$\Delta Q=Q_3-Q_1=24,625-19,25=5,375\approx 5,38$$ (triệu đồng).

(AI giải đề cho tôi)
n=25 nên Q1 ở vị trí 6,25 và Q3 ở vị trí 18,75. Tần số tích lũy: 4, 10, 18, 22, 25. Q1 thuộc nhóm [10;12): $Q_1=10+\frac{6,25-4}{6}\cdot 2=10,75$. Q3 thuộc nhóm [14;16): $Q_3=14+\frac{18,75-18}{4}\cdot 2=14,375$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=14,375-10,75=3,625\approx 3,63$.

(AI giải đề cho tôi)
n=60. Q1 ở vị trí 15: tích lũy 3, 11, 30 nên Q1 thuộc nhóm [1,5;1,8): $Q_1=1,5+\frac{15-11}{19}\cdot 0,3\approx 1,5632$. Q3 ở vị trí 45: tích lũy 30, 47 nên Q3 thuộc nhóm [1,8;2,1): $Q_3=1,8+\frac{45-30}{17}\cdot 0,3\approx 2,0647$. Khoảng tứ phân vị $Q_3-Q_1\approx 0,5015\approx 0,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=25$. Tần số tích lũy: 4; 10; 18; 22; 25. Vị trí $Q_1$: $\frac{25}{4}=6,25$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[10;12)$: $Q_1=10+\frac{6,25-4}{6}\cdot 2=10,75$ (giây). Vị trí $Q_3$: $\frac{3\cdot 25}{4}=18,75$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[14;16)$: $Q_3=14+\frac{18,75-18}{4}\cdot 2=14,375$ (giây). Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=14,375-10,75=3,625$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
a) $n=22+38+27+8+4+1=100$ → đúng. b) Thời gian nằm trong $[15;33)$ nên hiệu hai lần bất kì $<18$, do đó không vượt quá 18 phút → đúng. c) $Q_1$: vị trí 25 nằm ở nhóm $[18;21)$: $Q_1=18+\frac{25-22}{38}\cdot 3\approx 18,24$. $Q_3$: vị trí 75 nằm ở nhóm $[21;24)$: $Q_3=21+\frac{75-60}{27}\cdot 3\approx 22,67$. ${\Delta }_Q\approx 22,67-18,24=4,43$ → đúng. d) Tần số nhóm với giá trị đại diện $16,5;19,5;22,5;25,5;28,5;31,5$: $\bar{x}=\frac{2061}{100}=20,61$; $\sum f{x}_i^2=43551,25$ nên $s^2=435,5125-20,61^2\approx 10,74\ne 10$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$22+38+27+8+4+1=100$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mọi giá trị thuộc $[15;33)$ nên hiệu hai lần bất kì nhỏ hơn 18 phút, tức không vượt quá 18 phút.
c) (AI giải đề cho tôi)
$Q_1\approx 18,24$, $Q_3\approx 22,67$, ${\Delta }_Q\approx 4,43$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}=20,61$, phương sai $\approx 10,74\ne 10$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số $n=25$. Tần số tích lũy: 4; 10; 18; 22; 25.

Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=6,25$ thuộc nhóm $[10;12)$ (tần số 6, cận dưới 10, tần số tích lũy trước là 4):
$$Q_1=10+\frac{6,25-4}{6}\cdot 2=10+\frac{2,25}{3}=10,75.$$

Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=18,75$ thuộc nhóm $[14;16)$ (tần số 4, cận dưới 14, tần số tích lũy trước là 18):
$$Q_3=14+\frac{18,75-18}{4}\cdot 2=14+0,375=14,375.$$

Khoảng tứ phân vị:
$$\Delta Q=Q_3-Q_1=14,375-10,75=3,625\text{ (giaˆy)}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tích lũy: 17, 23, 26, 30, 39, 54, 59, 60 (n=60). a) R = 80 − 0 = 80, Đúng. b) Số tỉnh có tỉ lệ < 40% là 17+6+3+4 = 30 ≠ 4, Sai. c) Q1 là giá trị thứ 15 thuộc nhóm [0;10): Q1 = 0 + 15/17·10 ≈ 8,82. Q3 là giá trị thứ 45 thuộc nhóm [50;60): Q3 = 50 + (45−39)/15·10 = 54. ΔQ ≈ 45,18 ≠ 53, Sai. d) Nhóm [70;80) có tần số 1 nên có đúng 1 tỉnh đạt từ 70%, Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: a Đúng, b Sai, c Sai, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên theo nhóm: R = 80 − 0 = 80.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số tỉnh có tỉ lệ < 40%: 17+6+3+4 = 30, không phải 4.
c) (AI giải đề cho tôi)
Q1 ≈ 8,82 (nhóm [0;10)), Q3 = 54 (nhóm [50;60)), nên ΔQ ≈ 45,18 ≠ 53.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nhóm [70;80) có tần số bằng 1.

(AI giải đề cho tôi)
$n=85$. Vị trí $Q_1$: $\frac{85}{4}=21,25$ thuộc nhóm $[0,95;1,0)$ (cumulative 10→30): $Q_1=0,95+\frac{21,25-10}{20}\cdot 0,05=0,978125$. Vị trí $Q_3$: $\frac{3\cdot 85}{4}=63,75$ thuộc nhóm $[1,0;1,05)$ (cumulative 30→65): $Q_3=1,0+\frac{63,75-30}{35}\cdot 0,05\approx 1,048214$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 0,0701\approx 0,07$. Khớp đáp án nguồn (mã đề 146, câu 24: C).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=85$. Q1 ở vị trí $\frac{85}{4}=21,25$ thuộc nhóm $[0,95;1,0)$: $Q_1=0,95+\frac{21,25-10}{20}\cdot 0,05=0,978125$. Q3 ở vị trí $\frac{3\cdot 85}{4}=63,75$ thuộc nhóm $[1,0;1,05)$: $Q_3=1,0+\frac{63,75-30}{35}\cdot 0,05\approx 1,048214$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 0,0701\approx 0,07$.

a) Khoảng biến thiên là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dãy số liệu: $300-50=250(\text{km})$, vậy a) đúng.
b) Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1$, với $Q_1=100+\frac{7,5-5}{10}\times 50=112,5$ và $Q_3=150+\frac{22,5-15}{9}\times 50\approx 191,67$, suy ra $\Delta Q\approx 79,17\approx 79(\text{km})$, vậy b) đúng.
c) Số trung bình cộng là $\overline{x}=\frac{4650}{30}\approx 155(\text{km})\ne 145$, vậy c) sai.
d) Phương sai ${\sigma }^2\approx 3100$, độ lệch chuẩn $\sigma =\sqrt{3100}\approx 55,7\approx 56(\text{km})$, vậy d) đúng.
a) Khoảng biến thiên là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dãy số liệu. Ở đây, khoảng biến thiên là: $300-50=250(\text{km})$. Vậy khẳng định a) đúng.
b) Khoảng tứ phân vị được tính bằng: $\Delta Q=Q_3-Q_1$, trong đó $Q_1$ là phân vị thứ nhất và $Q_3$ là phân vị thứ ba trong dãy số liệu đã sắp xếp. Tổng số ngày là: $5+10+9+4+2=30(\text{ngaˋy})$. Với $n=30$, $Q_1$ ứng với vị trí $\frac{30}{4}=7,5$, nằm trong nhóm $[100;150)$ có 10 ngày, nhóm trước đó tích lũy 5 ngày: $$Q_1=100+\frac{7,5-5}{10}\times 50=112,5$$ $Q_3$ ứng với vị trí $\frac{3\times 30}{4}=22,5$, nằm trong nhóm $[150;200)$ có 9 ngày, nhóm trước đó tích lũy 15 ngày: $$Q_3=150+\frac{22,5-15}{9}\times 50\approx 191,67$$ Khoảng tứ phân vị là: $\Delta Q=Q_3-Q_1\approx 191,67-112,5=79,17\approx 79(\text{km})$. Vậy khẳng định b) đúng.
c) Số trung bình cộng là: $$\overline{x}=\frac{5\times 75+10\times 125+9\times 175+4\times 225+2\times 275}{30}=\frac{375+1250+1575+900+550}{30}=\frac{4650}{30}\approx 155(\text{km})$$ Vậy khẳng định c) sai.
d) Giá trị trung bình đã tính được là 155. Phương sai: $${\sigma }^2=\frac{5(75-155{)}^2+10(125-155{)}^2+9(175-155{)}^2+4(225-155{)}^2+2(275-155{)}^2}{30}=\frac{5\times 6400+10\times 900+9\times 400+4\times 4900+2\times 14400}{30}=\frac{32000+9000+3600+19600+28800}{30}=\frac{93000}{30}\approx 3100$$ Độ lệch chuẩn: $$\sigma =\sqrt{3100}\approx 55,7\approx 56(\text{km})$$ Vậy khẳng định d) đúng.

(AI giải đề cho tôi)
n=30. a) Khoảng biến thiên = 300−50=250 (km) → đúng. b) Q1: vị trí 7,5 thuộc nhóm [100;150): Q1=100+(7,5−5)/10·50=112,5. Q3: vị trí 22,5 thuộc nhóm [150;200): Q3=150+(22,5−15)/9·50≈191,67. IQR≈191,67−112,5=79,17≈79 → đúng. c) Giá trị đại diện 75,125,175,225,275: trung bình =4650/30=155≠145 → sai. d) Σf·x²=813750, s²=813750/30−155²=27125−24025=3100, s≈55,68≈56 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên = 300−50=250 (km).
b) (AI giải đề cho tôi)
Q1=112,5; Q3≈191,67; IQR≈79,17≈79 (km).
c) (AI giải đề cho tôi)
Trung bình = 4650/30=155 (km), không phải 145.
d) (AI giải đề cho tôi)
s²=3100, s≈55,68≈56 (km).

(AI giải đề cho tôi)
Tần số: 6,2,4,4,6,8; n=30. Giá trị đại diện: 48,75; 49,25; 49,75; 50,25; 50,75; 51,25.
a) Trung bình $\bar{x}=\frac{48,75\cdot 6+49,25\cdot 2+49,75\cdot 4+50,25\cdot 4+50,75\cdot 6+51,25\cdot 8}{30}=\frac{1505,5}{30}\approx 50,18\ne 50,32$ → Sai.
b) $Q_1$: vị trí $7,5$ thuộc nhóm $[49;49,5)$: $Q_1=49+\frac{7,5-6}{2}\cdot 0,5=49,375$. $Q_3$: vị trí $22,5$ thuộc nhóm $[51;51,5)$: $Q_3=51+\frac{22,5-22}{8}\cdot 0,5=51,03125$. Khoảng tứ phân vị $\approx 1,66\ne 3$ → Sai.
c) Khoảng biến thiên $=51,5-48,5=3$ → Đúng.
d) $\sum x_i^2{n}_i=75576,875$, $s^2=\frac{75576,875}{30}-{\bar{x}}^2\approx 2519,2292-2518,3669\approx 0,8623\ne 0,7009$ → Sai. Khớp đáp án chính thức: S,S,Đ,S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trung bình mẫu ghép nhóm là 1505,5/30 ≈ 50,18, không phải 50,32.
b) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 49,375; Q3 = 51,03125; khoảng tứ phân vị ≈ 1,66 ≠ 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên = 51,5 − 48,5 = 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương sai ≈ 0,8623 ≠ 0,7009.

Hướng dẫn
Ta có $Q_1=10+\frac{\frac{25}{4}-4}{6}.2=10,75$ và $Q_3=14+\frac{\frac{25.3}{4}-4-6-8}{4}.2=14,375$.

Do đó ${\Delta }_Q=14,375-10,75=3,625$. Đáp án là 3,6.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm nhóm: 48,75; 49,25; 49,75; 50,25; 50,75; 51,25 với tần số 6;2;4;4;6;8 (n=30).
a) R = 51,5 − 48,5 = 3 → đúng.
b) Q1: vị trí 7,5 thuộc nhóm [49;49,5): Q1 = 49 + (7,5−6)/2·0,5 = 49,375. Q3: vị trí 22,5 thuộc nhóm [51;51,5) (tần số tích lũy trước là 22): Q3 = 51 + (22,5−22)/8·0,5 = 51,03125. IQR = 1,65625 ≠ 3 → sai.
c) x̄ = (6·48,75+2·49,25+4·49,75+4·50,25+6·50,75+8·51,25)/30 = 1505,5/30 ≈ 50,1833 ≠ 50,32 → sai.
d) Σnᵢxᵢ² = 75576,875; s² = 75576,875/30 − (50,1833)² ≈ 2519,2292 − 2518,3669 ≈ 0,8622 ≠ 0,7009 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = 51,5 − 48,5 = 3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 49,375; Q3 = 51,03125; IQR ≈ 1,65625 ≠ 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
x̄ = 1505,5/30 ≈ 50,1833 ≠ 50,32.
d) (AI giải đề cho tôi)
s² ≈ 0,8622 ≠ 0,7009.