Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc hai đường (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp AD$. Xét các phương án khác: $AC$ là đường chéo đáy tạo với $AB$ góc $45^{\circ }$; $A{B}^{\prime }$ tạo với $AB$ góc $45^{\circ }$ (trong mặt phẳng $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$); $A{C}^{\prime }$ không vuông góc với $AB$ (tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A{C}^{\prime }}=A{B}^2\ne 0$). Vậy $AB$ vuông góc với $AD$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABD$, $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $AD$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BD$. Vì $\widehat{CBD}=90^{\circ }$ nên $BD\perp BC$, do đó $MN\perp BC$. Vậy $MN$ vuông góc với $BC$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, vì $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là mặt hình bình hành nên $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$. Do đó góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $BC$, tức là góc ở đỉnh $B$ của đáy. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SBC$, $I$ là trung điểm $SC$, $J$ là trung điểm $BC$ nên $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ\parallel SB$. Do đó góc $(IJ,CD)=(SB,CD)$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $CD\parallel AB$, do đó góc $(SB,CD)=(SB,AB)$. Tam giác $SAB$ có $SA=SB=AB=a$ nên đều, góc ở đỉnh $B$ bằng $60^{\circ }$. Vậy góc $(IJ,CD)=60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương, $D{A}_1\parallel C{B}_1$ (vì $DA{A}_1{D}_1$ và $CB{B}_1{C}_1$ ... thực chất $\overrightarrow{D{A}_1}=\overrightarrow{C{B}_1}$). Do đó góc giữa $AC$ và $D{A}_1$ bằng góc giữa $AC$ và $C{B}_1$. Xét tam giác $AC{B}_1$: ba cạnh $AC$, $C{B}_1$, $A{B}_1$ đều là đường chéo của các mặt hình lập phương nên đều bằng $a\sqrt{2}$. Tam giác $AC{B}_1$ đều, suy ra góc $AC{B}_1=60^{\circ }$. Vậy góc giữa $AC$ và $D{A}_1$ là $60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt vectơ: $\overrightarrow{IE}=\frac{1}{2}(\vec{B}+\vec{D}-\vec{A}-\vec{C})=\frac{1}{2}\left[(\vec{D}-\vec{C})+(\vec{B}-\vec{A})\right]$ và $\overrightarrow{JF}=\frac{1}{2}(\vec{A}+\vec{D}-\vec{B}-\vec{C})=\frac{1}{2}\left[(\vec{D}-\vec{C})-(\vec{B}-\vec{A})\right]$. Khi đó $\overrightarrow{IE}\cdot \overrightarrow{JF}=\frac{1}{4}\left[|\vec{D}-\vec{C}{|}^2-|\vec{B}-\vec{A}{|}^2\right]=\frac{1}{4}(C{D}^2-A{B}^2)=0$ vì $AB=CD$. Vậy $IE\perp JF$, góc $(IE,JF)=90^{\circ }$. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp BC$ và $BC\parallel AD$ (đáy là hình thoi) nên $SA\perp AD$. Xét tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có $SA=a\sqrt{3}$, $AD=a$. Góc giữa $SD$ và $BC$ bằng góc giữa $SD$ và $AD$, tức là góc $SDA$ (góc ở đỉnh $D$). Ta có $\tan (\widehat{SDA})=\frac{SA}{AD}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$, suy ra $\widehat{SDA}=60^{\circ }$. Vậy góc giữa $SD$ và $BC$ bằng $60^{\circ }$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD$ nên góc giữa $AB$ và $SC$ bằng góc giữa $CD$ và $SC$, tức là góc $SCD$ trong tam giác $SCD$. Ta có $SC=SD=a\sqrt{2}$, $CD=AB=2a$. Áp dụng định lí cosin: $\cos \widehat{SCD}=\frac{S{C}^2+C{D}^2-S{D}^2}{2\cdot SC\cdot CD}=\frac{2a^2+4a^2-2a^2}{2\cdot a\sqrt{2}\cdot 2a}=\frac{4a^2}{4a^2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Vậy góc giữa $AB$ và $SC$ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $BC$ và $N$ là trung điểm $AD$, ta có:
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD},$$
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}.$$
Cộng vế theo vế hai đẳng thức (chú ý $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}=\vec{0}$, $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=\vec{0}$):
$$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC},$$
hay $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)$.

Do đó:
$$M{N}^2=\frac{1}{4}\left(A{B}^2+C{D}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC}\right).$$

Gọi $\theta$ là góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$, khi đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC}=AB\cdot CD\cdot \cos \theta =4a^2\cos \theta$. Suy ra:
$$3a^2=\frac{1}{4}\left(4a^2+4a^2+2\cdot 4a^2\cos \theta \right)=2a^2+2a^2\cos \theta ,$$
nên $\cos \theta =\frac{1}{2}$.

Vậy góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng $60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;2a;0)$, vì hình thang vuông tại $A,B$ nên $C(a;a;0)$ (do $BC=a$ và $BC\perp AB$). Ta có $AC=a\sqrt{2}$, $H\in AC$ với $CH=3AH\Rightarrow AH=\frac{AC}{4}$, suy ra $H\left(\frac{a}{4};\frac{a}{4};0\right)$, và $S\left(\frac{a}{4};\frac{a}{4};a\sqrt{3}\right)$.

a) $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$, $\overrightarrow{SC}=\left(\frac{3a}{4};\frac{3a}{4};-a\sqrt{3}\right)$, $|SC|=a\sqrt{\frac{9}{16}+\frac{9}{16}+3}=\frac{a\sqrt{66}}{4}$.
$$\cos (SC,AB)=\frac{\frac{3a}{4}}{\frac{a\sqrt{66}}{4}}=\frac{3}{\sqrt{66}}=\frac{\sqrt{66}}{22}.$$
Vậy góc giữa $SC$ và $AB$ bằng $\arccos \frac{\sqrt{66}}{22}\approx 68,5^{\circ }$.

b) $\overrightarrow{SA}=\left(-\frac{a}{4};-\frac{a}{4};-a\sqrt{3}\right)$, $|SA|=a\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+3}=\frac{5a\sqrt{2}}{4}$; $\overrightarrow{BD}=(-a;2a;0)$, $|BD|=a\sqrt{5}$.
$$\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{BD}=\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{2}+0=-\frac{a^2}{4},$$
$$\cos (SA,BD)=\frac{a^2/4}{\frac{5a\sqrt{2}}{4}\cdot a\sqrt{5}}=\frac{1}{5\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{50}.$$
Vậy góc giữa $SA$ và $BD$ bằng $\arccos \frac{\sqrt{10}}{50}\approx 86,4^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh đáy $AB=x$. Vì $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$ nên góc giữa $A^{\prime }B$ và mặt đáy là góc $A^{\prime }BA=60^0$, với $A{A}^{\prime }=2a$: $\sin 60^0=\frac{A{A}^{\prime }}{A^{\prime }B}\Rightarrow A^{\prime }B=\frac{2a}{\sqrt{3}/2}=\frac{4a}{\sqrt{3}}$. Suy ra $A{B}^2=A^{\prime }{B}^2-A{A}^{\prime 2}=\frac{16a^2}{3}-4a^2=\frac{4a^2}{3}$, tức $AB=\frac{2a}{\sqrt{3}}$. Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B\left(\frac{2a}{\sqrt{3}};0;0\right)$, $C\left(\frac{a}{\sqrt{3}};a;0\right)$, $A^{\prime }(0;0;2a)$, trung điểm $M\left(\frac{\sqrt{3}a}{2};\frac{a}{2};0\right)$. Khi đó $\overrightarrow{A^{\prime }C}=\left(\frac{a}{\sqrt{3}};a;-2a\right)$, $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{\sqrt{3}a}{2};\frac{a}{2};0\right)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{A^{\prime }C}\cdot \overrightarrow{AM}=\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}=a^2$. Độ dài: $|\overrightarrow{A^{\prime }C}|=\sqrt{\frac{a^2}{3}+a^2+4a^2}=\frac{4a}{\sqrt{3}}$, $|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{\frac{3a^2}{4}+\frac{a^2}{4}}=a$. Vậy $\cos (A^{\prime }C,AM)=\frac{a^2}{\frac{4a}{\sqrt{3}}\cdot a}=\frac{\sqrt{3}}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đều nên tam giác ABC đều cạnh $a$, cạnh bên $A{A}^{\prime }=3a$ và $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$, góc $\widehat{BAC}=60^{\circ }$.

Ta có:
$$\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{A^{\prime }C}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}.$$

Tích vô hướng:
$$\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }C}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{AC}-|\overrightarrow{A{A}^{\prime }}{|}^2.$$

Vì $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\perp \overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\perp \overrightarrow{AC}$ nên hai tích giữa bằng $0$, còn $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a\cdot a\cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$. Do đó:
$$\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }C}=\frac{a^2}{2}-9a^2=-\frac{17a^2}{2}.$$

Độ dài:
$$|\overrightarrow{A{B}^{\prime }}|=\sqrt{a^2+9a^2}=a\sqrt{10},|\overrightarrow{A^{\prime }C}|=\sqrt{a^2+9a^2}=a\sqrt{10}.$$

Vậy:
$$\cos \left(\overrightarrow{A{B}^{\prime }},\overrightarrow{A^{\prime }C}\right)=\frac{-\frac{17a^2}{2}}{10a^2}=-\frac{17}{20}.$$

Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, tồn tại duy nhất một mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $O$ và vuông góc với $d$. Mọi đường thẳng nằm trong $(\alpha )$ và đi qua $O$ đều vuông góc với $d$, và trong mặt phẳng $(\alpha )$ có vô số đường thẳng đi qua $O$. Vậy qua $O$ có vô số đường thẳng vuông góc với $d$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Các đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\Delta$ chính là các đường thẳng nằm trong mặt phẳng duy nhất đi qua $M$ và vuông góc với $\Delta$. Do đó chúng cùng thuộc một mặt phẳng. Chúng không vuông góc hay song song với nhau, và cũng không cùng vuông góc với một mặt phẳng (qua $M$ chỉ có một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước). Vậy đáp án D.

Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $B{B}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên $B{B}^{\prime }\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$ (vì $B^{\prime }{C}^{\prime }$ nằm trong mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$). Vậy đường thẳng vuông góc với $B^{\prime }{C}^{\prime }$ là $B{B}^{\prime }$. Đáp án C.

Xét các phương án còn lại:
- $A^{\prime }D$: vì $A^{\prime }D\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$ (cùng vuông góc với mặt bên $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$... cụ thể $A^{\prime }D$ song song với $B^{\prime }C$) nên $A^{\prime }D$ không vuông góc với $B^{\prime }{C}^{\prime }$.
- $AC$: $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ và trong hình vuông $ABCD$, $AC$ tạo với $BC$ góc $45^{\circ }$, nên $AC$ không vuông góc với $B^{\prime }{C}^{\prime }$.
- $A{D}^{\prime }$: là đường chéo của mặt $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$, tạo với $B^{\prime }{C}^{\prime }$ (song song $AD$) góc khác $90^{\circ }$, nên không vuông góc với $B^{\prime }{C}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$ nên $D{D}^{\prime }\perp AB$ (dù $AB$ và $D{D}^{\prime }$ chéo nhau). Các phương án khác: $AC$ và $BD$ là đường chéo đáy tạo với $AB$ góc $45^{\circ }$; $A{B}^{\prime }$ là đường chéo mặt $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ tạo với $AB$ góc $45^{\circ }$, đều không vuông góc. Vậy đáp án là $D{D}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $D^{\prime }{C}^{\prime }\parallel DC$, ta xét đường thẳng vuông góc với $DC$. Trong mặt phẳng $(ABCD)$, $DC$ không vuông góc với $AC$ hay $BD$ (góc $45^{\circ }$ do $AC,BD$ là hai đường chéo hình vuông). Tương tự $D^{\prime }{B}^{\prime }\parallel DB$ cũng tạo với $DC$ góc $45^{\circ }$. Còn $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $A{A}^{\prime }\perp DC$, suy ra $A{A}^{\prime }\perp D^{\prime }{C}^{\prime }$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phương án với đường thẳng $BC$ trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$:
- $A^{\prime }{B}^{\prime }$: vì $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình bình hành nên $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$, mà $AB\perp BC$ (do $ABCD$ là hình vuông), suy ra $BC\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$. Đúng.
- $B{C}^{\prime }$: tam giác $BC{C}^{\prime }$ vuông tại $C$ nên góc giữa $BC$ và $B{C}^{\prime }$ có $\cos =\frac{BC}{B{C}^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, tức góc $45^{\circ }$, không vuông góc.
- $B{D}^{\prime }$: đặt hệ trục với $B$ làm gốc, $\overrightarrow{BC}=(0,a,0)$, $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(a,a,a)$, tích vô hướng $=a^2\ne 0$, không vuông góc.
- $A{D}^{\prime }$: đặt $A=(0,0,0)$, $B=(a,0,0)$, $C=(a,a,0)$, $D^{\prime }=(0,a,a)$ thì $\overrightarrow{BC}=(0,a,0)$, $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(0,a,a)$, tích vô hướng $=a^2\ne 0$, góc giữa hai đường thẳng có $\cos =\frac{a^2}{a\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, tức góc $45^{\circ }$, không vuông góc.
Vậy chỉ có $A^{\prime }{B}^{\prime }$ vuông góc với $BC$. Chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu hỏi (Câu 39, trang 11): Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, tìm đường thẳng vuông góc với $C{C}^{\prime }$. Vì $C{C}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $C{C}^{\prime }$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$. Đường thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ với $AB\subset (ABCD)$, suy ra $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp C{C}^{\prime }$. Các phương án còn lại: $B{C}^{\prime }$, $C{B}^{\prime }$, $D{A}^{\prime }$ đều là đường chéo của các mặt bên chứa $C{C}^{\prime }$, tạo với $C{C}^{\prime }$ góc nhọn khác $90^{\circ }$ nên không vuông góc. Vậy đáp án là $A^{\prime }{B}^{\prime }$, khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 43: Xét từng khẳng định. A đúng: định lý về ba giao tuyến của ba mặt phẳng cắt nhau — ba giao tuyến phân biệt hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. B sai: trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau (ví dụ trong hình lập phương, $AB$ và $A^{\prime }{D}^{\prime }$ cùng vuông góc với $A{A}^{\prime }$ nhưng chéo nhau). C đúng: hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau (đường thẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng). D đúng: cho hai đường thẳng chéo nhau, qua đường thẳng này có duy nhất một mặt phẳng song song với đường thẳng kia. Vậy khẳng định sai là B.