Viết phương trình chính tắc của elip $(E)$ trong các trường hợp sau:
a) $(E)$ đi qua điểm $M\left(\frac{3}{\sqrt{5}};\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$ và $M$ nhìn hai tiêu điểm $F_1,F_2$ dưới một góc vuông.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $(E):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(a>b>0)$, tiêu điểm $F_1(-c;0),F_2(c;0)$, $c^2=a^2-b^2$.

Vì $M\left(\frac{3}{\sqrt{5}};\frac{4}{\sqrt{5}}\right)\in (E)$:
$$\frac{9}{5a^2}+\frac{16}{5b^2}=1⟺9b^2+16a^2=5a^2{b}^2.$$

$M$ nhìn $F_1{F}_2$ dưới góc vuông nên $\widehat{F_{1}M{F}_2}=90^{\circ }$, tức $M{F}_1^2+M{F}_2^2=4c^2$. Với $x_M>0$: $M{F}_1=a+e{x}_M,M{F}_2=a-e{x}_M$ với $e=\frac{c}{a}$, nên
$$M{F}_1^2+M{F}_2^2=2a^2+2e^2{x}_M^2=2a^2+\frac{18c^2}{5a^2}=4c^2.$$
Đặt $u=a^2,w=c^2$: từ phương trình trên $w=\frac{5u^2}{10u-9}$; từ phương trình elip (với $b^2=u-w$) $w=\frac{5u^2-25u}{5u-9}$.

Suy ra $\frac{u}{10u-9}=\frac{u-5}{5u-9}\Rightarrow 5u^2-50u+45=0\Rightarrow u=1$ hoặc $u=9$.
- $u=1$: $w=5>u$ loại.
- $u=9$: $a=3$, $w=\frac{405}{81}=5\Rightarrow c=\sqrt{5}$, $b^2=4$.

Thử lại: $\frac{(3/\sqrt{5}{)}^2}{9}+\frac{(4/\sqrt{5}{)}^2}{4}=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}=1$ ✓; $M{F}_1=3+\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{3}{\sqrt{5}}=4$, $M{F}_2=2$, $M{F}_1^2+M{F}_2^2=20=4c^2$ ✓.

Vậy phương trình chính tắc của $(E)$ là $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$.