Lập phương trình chính tắc của $(H)$, biết:
a) Nửa trục thực bằng 2, tiêu cự bằng $2\sqrt{5}$.
b) Tiêu cự bằng $4\sqrt{29}$, một tiệm cận có phương trình $y=-\frac{2}{5}x$.
c) $(H)$ đi qua $M(\sqrt{6};3)$ và góc giữa hai tiệm cận là $60^0$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 27: Lập phương trình chính tắc của hyperbol (H): $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (với $a,b>0$).

a) Nửa trục thực $a=2$; tiêu cự $2c=2\sqrt{5}\Rightarrow c=\sqrt{5}$. Vậy $b^2=c^2-a^2=5-4=1$.
$$(H):\frac{x^2}{4}-y^2=1.$$

b) $2c=4\sqrt{29}\Rightarrow c^2=116$. Tiệm cận $y=-\frac{2}{5}x\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{2}{5}$. Kết hợp $b^2=c^2-a^2$: $\frac{4}{25}{a}^2=116-a^2\Rightarrow \frac{29}{25}{a}^2=116\Rightarrow a^2=100$, $b^2=16$.
$$(H):\frac{x^2}{100}-\frac{y^2}{16}=1.$$

c) Góc giữa hai tiệm cận $y=\pm \frac{b}{a}x$ bằng $60^{\circ }$.
- Trường hợp góc nhị diện chứa trục Ox bằng $60^{\circ }$: $\frac{b}{a}=\tan 30^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Thay $M(\sqrt{6};3)$: $\frac{6}{a^2}-\frac{3}{a^2/3}=\frac{6}{a^2}-\frac{9}{a^2}=-\frac{3}{a^2}=1$ (vô nghiệm, loại).
- Trường hợp góc chứa trục Oy bằng $60^{\circ }$: $\frac{b}{a}=\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}\Rightarrow b^2=3a^2$. Thay $M$: $\frac{6}{a^2}-\frac{3}{3a^2}=\frac{5}{a^2}=1\Rightarrow a^2=5$, $b^2=15$.
$$(H):\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{15}=1.$$