Trong sân chơi hình vuông của công viên, người ta xây hai ghế ngồi giống nhau (mỗi ghế có hình dạng là nửa đường tròn nối liền với hai đoạn thẳng có độ dài bằng bán kính nửa đường tròn) và bờ thành của một “bể non bộ” hình tròn tại trung tâm của sân chơi như sơ đồ.



Biết tổng diện tích chiếm sân là $50,24m^2$ (bỏ qua diện tích chiếm sân của bốn đoạn ghế thẳng), khi đó tổng độ dài các đường xây lớn nhất bằng bao nhiêu? Trong toán, lấy $\pi =3,14$, độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ nhất.

Gọi $x$ và $y$ lần lượt là bán kính của các nửa đường tròn và bán kính của đường tròn.



Theo đề bài, ta có $\pi x^2+\pi y^2=50,24\iff x^2+y^2=16$. Ta có tổng độ dài đường xây (đường in đậm) là $d=2\pi x+4x+2\pi y=10,28x+6,28y$. Xét đường tròn $(C):x^2+y^2=16$, ta có $(C)$ có tâm là $O(0;0)$ và $R=4$. Ta có $d=10,28x+6,28y\iff 10,28x+6,28y-d=0$ với $d>0$. Để tồn tại $x$, $y$ thì đường tròn $(C):x^2+y^2=16$ và đường thẳng $\Delta :10,28x+6,28y-d=0$ phải có giao điểm $$\iff d(O;\Delta )\le R\iff \frac{|-d|}{\sqrt{10,28^2+6,28^2}}\le 4\Rightarrow d\le 48,186.$$ Để $d$ đạt giá trị lớn nhất thì $\Delta :10,28x+6,28y-48,2=0$ là tiếp tuyến của $(C)$. Gọi ${\Delta }^{\prime }$ là đường thẳng đi qua tâm $O(0;0)$ và vuông góc với $d$ nên ${\Delta }^{\prime }:3,14x-5,14y=0$. Khi đó $x$, $y$ là tọa độ của điểm $A$ với là giao điểm của $\Delta$ và ${\Delta }^{\prime }$ (cụm từ 'với là giao điểm' giữ nguyên theo bản gốc). Xét hệ phương trình $\{\begin{array}{l}3,14x-5,14y=0\\ 10,28x+6,28y-48,2=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\approx 3,41\\ y\approx 2,09\end{array}$. (Lời giải trong nguồn dừng ở đây, không nêu kết quả số cuối cùng của tổng độ dài đường xây lớn nhất.)