Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho phép vị tự $V$ tỉ số $k=2$ biến điểm $A(1;-2)$ thành điểm $A^{\prime }(3;-1)$. Khi đó tâm vị tự $I$ có tọa độ là:

Cho đường thẳng $d:2x-y+1=0$. Để phép tịnh tiến theo $\vec{v}$ biến đường thẳng $d$ thành chính nó thì $\vec{v}$ phải là véc tơ nào sau đây:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, trên cạnh $SA$ lấy điểm $M$ sao cho $MA=2MS$. Gọi $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$. Một phép chiếu song song theo phương $MO$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ biến điểm $S$ thành điểm $N$.
a) $N$ là hình chiếu song song của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ theo phương $OM$.
b) $\frac{AO}{AN}=\frac{1}{3}$
c) $\frac{AN}{AC}=4$
d) $\frac{CN}{CA}=\frac{1}{4}$

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Dựng các tam giác đều $ABK$, $ACL$ về phía ngoài tam giác $ABC$ (hai điểm $K,C$ nằm về hai phía khác nhau đối với đường thẳng $AB$ và hai điểm $L,B$ nằm về hai phía khác nhau đối với đường thẳng $AC$). Gọi $T,S,R$ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng $BL$ và $CK$, $AB$ và $CK$, $AC$ và $BL$. Chứng minh rằng tâm đẳng phương của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $KSB$, $BTC$ và $LRC$ nằm trên đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$.

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và $M$ là điểm nằm ở miền trong tam giác $ABC$ sao cho $MA=2MB$ và $MC=3MB$. Tính góc $AMB$.

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Lấy điểm $X$ cố định nằm trên cung $BC$ không chứa $A$ của $(O)$. Một đường thẳng $d$ chuyển động qua $X$. Các đường thẳng $d_A,d_B,d_C$ lần lượt đối xứng với $d$ qua $BC$, $CA$, $AB$. Gọi $A^{\prime }$ là giao điểm của $d_B$ và $d_C$, $B^{\prime }$ là giao điểm của $d_A$ và $d_C$, $C^{\prime }$ là giao điểm của $d_A$ và $d_B$.
a) Chứng minh rằng $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ đồng quy tại một điểm nằm trên $(O)$.
b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ luôn đi qua một điểm cố định.

[Hình cần kiểm tra lại: p4_f1]

Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?