Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, trên cạnh $SA$ lấy điểm $M$ sao cho $MA=2MS$. Gọi $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$. Một phép chiếu song song theo phương $MO$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ biến điểm $S$ thành điểm $N$.
a) $N$ là hình chiếu song song của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ theo phương $OM$.
b) $\frac{AO}{AN}=\frac{1}{3}$
c) $\frac{AN}{AC}=4$
d) $\frac{CN}{CA}=\frac{1}{4}$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ gốc $A$: gọi $\vec{s}=\overrightarrow{AS}$, $\vec{o}=\overrightarrow{AO}$ (O nằm trong mặt $(ABCD)$). Vì $MA=2MS$ nên $AM=\frac{2}{3}AS$, tức $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\vec{s}$.
Đường thẳng qua $S$ song song $MO$: điểm $N$ có dạng $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AS}+t\overrightarrow{MO}=\vec{s}+t(\vec{o}-\frac{2}{3}\vec{s})=(1-\frac{2t}{3})\vec{s}+t\vec{o}$. Để $N$ thuộc mặt $(ABCD)$, thành phần theo phương $\overrightarrow{AS}$ ngoài mặt phẳng phải triệt tiêu, suy ra $1-\frac{2t}{3}=0\Rightarrow t=\frac{3}{2}$. Vậy $\overrightarrow{AN}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AO}$, tức $N$ nằm trên tia $AO$ với $AN=\frac{3}{2}AO$.
a) Đúng: theo định nghĩa, $N$ chính là hình chiếu song song của $S$ lên $(ABCD)$ theo phương $OM$ (phương $MO$ trùng phương $OM$).
b) Sai: $\frac{AO}{AN}=\frac{2}{3}\ne \frac{1}{3}$.
c) Sai: vì $O$ là trung điểm $AC$ nên $AO=\frac{AC}{2}$, do đó $AN=\frac{3}{2}\cdot \frac{AC}{2}=\frac{3AC}{4}$, tức $\frac{AN}{AC}=\frac{3}{4}\ne 4$.
d) Đúng: $CN=AC-AN=AC-\frac{3AC}{4}=\frac{AC}{4}$, nên $\frac{CN}{CA}=\frac{1}{4}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đúng theo định nghĩa: $N$ là giao của đường thẳng qua $S$ song song với phương chiếu $MO$ (trùng $OM$) với mặt $(ABCD)$, nên $N$ là hình chiếu song song của $S$ lên $(ABCD)$ theo phương $OM$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính toán cho $\overrightarrow{AN}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AO}$, nên $\frac{AO}{AN}=\frac{2}{3}\ne \frac{1}{3}$, mệnh đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AO=\frac{AC}{2}$ nên $AN=\frac{3}{2}AO=\frac{3AC}{4}$, tức $\frac{AN}{AC}=\frac{3}{4}\ne 4$, mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$CN=AC-AN=\frac{AC}{4}$ nên $\frac{CN}{CA}=\frac{1}{4}$, mệnh đề đúng.