Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng có độ dài bằng 1. Biết góc giữa hai vectơ này bằng $120^{\circ }$. Hãy tính $T=\vec{a}\cdot \vec{b}$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình thang $ABCD$ có hai đáy $AB$, $CD$; tọa độ ba đỉnh $A(1;2;0)$, $B(2;0;-2)$, $C(6;1;-1)$. Biết hình thang có diện tích bằng $6\sqrt{2}$. Giả sử đỉnh $D(a;b;c)$, tính $P=3a+b-c$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;1;3),B(-6;3;3)$. Gọi $M(a;b;c)$ là điểm thỏa mãn $M{A}^2+M{B}^2=2M{O}^2$. Giá trị nhỏ nhất của $T=a^2+b^2+c^2$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho $\Delta ABC$ có $A(6;1;0),B(-1;3;2)$ và $C(1;-1;1)$. Khi đó

Một trung tâm kiểm soát không lưu theo dõi bốn vệ tinh $A,B,C,D$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ có mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Cho vị trí bốn vệ tinh $A(0;4;5)$, $B(0;5;4)$, $C(1;3;3)$, $D(1;-1;3)$ và trung tâm kiểm soát không lưu $M(a;b;c)$.

Cho hình lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, M là trung điểm của BC. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$ bằng

Cho biết bốn đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tứ diện đến trọng tâm mặt đối diện luôn cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện đó. Một phân tử metan $C{H}_4$ được cấu tạo bởi bốn nguyên tử hydrogen ở các đỉnh của một tứ diện đều và một nguyên tử carbon ở trọng tâm của tứ diện. Góc liên kết là góc tạo bởi liên kết $H-C-H$ là góc giữa các đường nối nguyên tử carbon với hai trong số các nguyên tử hydrogen. Tìm độ lớn góc liên kết này theo đơn vị độ và làm tròn đến hàng đơn vị.