Cho hình lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, M là trung điểm của BC. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$ bằng

Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$. Góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AF}$ và $\overrightarrow{EG}$ bằng

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho các điểm $A(5;2;1),B(9;-2;3),C(2;1;1),D(1;1;1)$

Câu 17 (2,0 điểm).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình chóp cụt đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$. Biết rằng $A(0;2;3)$, điểm $B$ thuộc trục $Oz$ và điểm $C$ có hoành độ dương. Tìm tọa độ điểm $C^{\prime }$ sao cho $\left|\overrightarrow{C^{\prime }A}+\overrightarrow{C^{\prime }B}+2\overrightarrow{C^{\prime }C}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $2\sqrt{3}$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Mặt bên $SAB$ là tam giác cân đỉnh $S$, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và $\widehat{ASB}=30^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $SD$ và $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $AM$, $CD$. Khi đó $\sin \alpha$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a}=(1;1;-2)$; $\vec{b}=(1;0;m)$. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của $m$ để $\left(\vec{a};\vec{b}\right)=60^{\circ }$. Số phần tử của $S$ là bao nhiêu?

Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài $8m$, rộng $6m$ và cao $4m$ có một cây quạt trần A ở vị trí tâm trần nhà và một quả bóng B nằm trên sàn. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ (đơn vị mét). Biết quả bóng cách tường $(Oxz)$ $2m$ và cách tường $(Oyz)$ $3m$. Nếu cây quạt trần đột nhiên rơi xuống sàn thì vị trí chạm sàn của cây quạt cách quả bóng bao nhiêu?