Một trung tâm kiểm soát không lưu theo dõi bốn vệ tinh $A,B,C,D$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ có mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Cho vị trí bốn vệ tinh $A(0;4;5)$, $B(0;5;4)$, $C(1;3;3)$, $D(1;-1;3)$ và trung tâm kiểm soát không lưu $M(a;b;c)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{DA}=(-1;5;2)$, $\overrightarrow{DB}=(-1;6;1)$. Tích vô hướng $=1+30+2=33$, $|DA|=\sqrt{30}$, $|DB|=\sqrt{38}$, nên $\cos \widehat{ADB}=\frac{33}{\sqrt{1140}}\approx 0,9774\Rightarrow \widehat{ADB}\approx 12,2^{\circ }\ne 78^{\circ }$. Sai.

b) $AC=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{6}\approx 2,45km\ne 4km$. Sai.

c) $\overrightarrow{AB}=(0;1;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(1;-1;-2)$, $\overrightarrow{AD}=(1;-5;-2)$. Hỗn tạp $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]=0\cdot (2-10)-1\cdot (-2+2)+(-1)\cdot (-5+1)=4\ne 0$, ba vectơ không đồng phẳng nên bốn vệ tinh không cùng nằm trên một mặt phẳng. Sai.

d) Với $c=1$, $M(a;b;1)$: $A{M}^2=a^2+(b-4{)}^2+16=25\Rightarrow a^2+(b-4{)}^2=9$; $B{M}^2=a^2+(b-5{)}^2+9=25\Rightarrow a^2+(b-5{)}^2=16$. Trừ: $(b-5{)}^2-(b-4{)}^2=7\Rightarrow -(2b-9)=7\Rightarrow b=1$, suy ra $a^2+9=9\Rightarrow a=0$, tức $M(0;1;1)$. Kiểm tra: $C{M}^2=1+4+4=9\Rightarrow CM=3km$; $D{M}^2=1+4+4=9\Rightarrow DM=3km$. Thỏa mãn. Đúng.

Kết luận: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{DA}=(-1;5;2)$, $\overrightarrow{DB}=(-1;6;1)$, $\cos \widehat{ADB}=\frac{33}{\sqrt{1140}}\approx 0,9774\Rightarrow \widehat{ADB}\approx 12,2^{\circ }\ne 78^{\circ }$. Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $AC=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}\approx 2,45km\ne 4km$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hỗn tạp $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]=4\ne 0$ nên ba vectơ không đồng phẳng, bốn vệ tinh không cùng nằm trên một mặt phẳng. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $c=1$, giải $AM=BM=5$ được $M(0;1;1)$; kiểm tra $CM=DM=3km$ thỏa mãn. Đúng.