Bạn Long định gấp một cái hộp có dạng hình lăng trụ tứ giác đều với tổng diện tích tất cả các mặt là $96c{m}^2$ . Thể tích cái hộp mà bạn Long định gấp lớn nhất bằng bao nhiêu?

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải lụa $(1\le x\le 18)$. Tổng chi phí sản xuất $x$ mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí: $C(x)=x^3-3x^2-20x+500$. Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/mét. Gọi $B(x)$ là số tiền bán được và $L(x)$ là lợi nhuận thu được khi bán $x$ mét vải lụa.

a. Khi bệnh nhân sử dụng một lượng $x$ centimet khối của một loại thuốc $Y$, huyết áp tăng thêm của người này được mô hình hóa bởi hàm số $B(x)=305\left(x^2-6x^3\right)$ với $0\le x\le 0,16$. Xác định lượng thuốc $Y$ mà bệnh nhân sử dụng để huyết áp tăng thêm đạt giá trị lớn nhất.

b. Giải phương trình ${\cos }^{2}x\cdot {\sin }^{4}x+\cos 2x=2\cos x(\sin x+\cos x)-1$.

Ông Hiệp có một mảnh đất hình tam giác $ABC$ với $AB=30m,BC=50m,CA=40m$. Ông muốn chia mảnh đất thành hai phần có diện tích bằng nhau cho hai người con. Tuy nhiên phần đất phía $AB,AC$ đều tiếp giáp mặt đường nên người đó muốn chia theo đoạn thẳng $MN$ (như hình vẽ) để hai người con đều có đất “hai mặt tiền” (thửa đất có hai mặt tiếp giáp với đường). Người cha muốn xây đoạn tường $MN$ cao $1,5m$ để chia đất với chi phí mỗi mét vuông tường là 250000 đồng. Chi phí ít nhất để xây đoạn tường $MN$ (tính theo đơn vị triệu đồng) là (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức $G(x)=0,035x^2(15-x)$, trong đó $x$ là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ($x$ được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm (đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.

Một màn hình $BC$ có chiều cao $1,4m$ được đặt thẳng đứng và mép dưới của màn hình cách mặt đất một khoảng $BA=1,8m$. Một chiếc đèn quan sát màn hình được đặt ở vị trí $O$ trên mặt đất. Hãy xác định khoảng cách $AO$ sao cho góc quan sát $\widehat{BOC}$ là lớn nhất.

Người ta muốn sản xuất một bể nước theo dạng khối lăng trụ tứ giác đều, không có nắp trên, làm bằng kính và có thể tích là $16m^3$. Biết giá của mỗi mét vuông kính là 50000 đồng. Tìm số tiền tối thiểu (triệu đồng) phải trả để làm bể nước trên (làm tròn đến hàng đơn vị).