Trong không gian $Oxyz$, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(10;3;0)$ và chuyển động đều theo đường cáp thẳng có vecto chỉ phương là $\vec{u}=(2;-2;1)$ với tốc độ 4,5 m/s (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Một camera giám sát an toàn đặt tại $I(50;-10;50)$. Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi cabin xuất phát thì cabin gần camera giám sát an toàn nhất? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;8)$ đến điểm $N(800;300;10)$ trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay sau 5 phút tiếp theo thì tọa độ của máy bay lúc này là $(a;b;c)$. Kết quả của phép tính $\frac{a+b+c}{2025}$ (làm tròn đến hàng phần chục) bằng bao nhiêu?

Khi khắc phục hậu quả của thiên tai, bão lũ, một trong những giải pháp nhằm tiếp tế hàng cứu trợ đến những nơi khó tiếp cận là sử dụng flycam để xác định vị trí chính xác của người cần cứu trợ, sau đó sử dụng máy bay không người lái để vận chuyển các vật dụng thiết yếu thả xuống cho những người này, giúp họ có thể cầm cự trong khi chờ đợi lực lượng cứu hộ đến nơi. Hai chiếc máy bay không người lái làm nhiệm vụ cùng bay lên từ một địa điểm. Sau một giờ bay, chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát về phía bắc $23km$ và về phía tây $18km$, đồng thời cách mặt đất $2km$. Chiếc thứ hai cách điểm xuất phát về phía nam $22km$ và về phía đông $27km$, đồng thời cách mặt đất $3km$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai máy bay, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất sao cho trục $Ox$ hướng về phía bắc, trục $Oy$ hướng về phía tây và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét. Sau đúng một giờ bay, hai máy bay đó cùng xác định được vị trí cần cứu trợ trên mặt đất. Biết tổng khoảng cách từ mỗi máy bay đến vị trí cần cứu trợ là nhỏ nhất, lúc đó vị trí cần cứu trợ cách điểm xuất phát của hai máy bay bao nhiêu kilômét ?

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;8)$ đến điểm $N(800;300;10)$ trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay sau 5 phút tiếp theo thì tọa độ của máy bay lúc này là $(a;b;c)$. Kết quả của phép tính $\frac{a+b+c}{2025}$ (làm tròn đến hàng phần chục) bằng bao nhiêu?

Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất cách mặt đất 5 m, cách điểm xuất phát 3 m về phía Nam và 2 m về phía Đông. Chiếc flycam thứ hai cách mặt đất 5 m, cách điểm xuất phát 6 m về phía Bắc và 6 m về phía Tây. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc flycam, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất có trục $Ox$ hướng về phía nam, trục $Oy$ hướng về phía đông và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo mét.

Một người đứng ở mặt đất điều khiển hai flycam để phục vụ quay hình một chương trình của đài truyền hình. Lúc 9 giờ, flycam thứ nhất ở vị trí $A$ cách vị trí điều khiển $250m$ về phía nam và $180m$ về phía đông, đồng thời cách mặt đất $60m$; còn flycam thứ hai ở vị trí $B$ cách vị trí điều khiển $150m$ về phía bắc và $200m$ về phía tây, đồng thời cách mặt đất $70m$. Lúc 9 giờ 30 phút, người đó điều khiển flycam thứ hai lên cao $30m$, đồng thời người đó di chuyển theo hướng nam đến vị trí mới $D$ cách đều vị trí của hai flycam 1 và 2. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc tọa độ $O$ là vị trí của người điều khiển lúc 9 giờ, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất với trục $Ox$ có hướng trùng với hướng nam, trục $Oy$ có hướng trùng với hướng đông và trục $Oz$ vuông góc với mặt đất hướng lên bầu trời, đơn vị trên mỗi trục tính theo mét.

Hai khinh khí cầu cùng bay lên từ một địa điểm. Lúc 10 giờ sáng, khinh khí cầu thứ nhất ở vị trí $A$ cách điểm xuất phát $2,3km$ về phía bắc và $1,8km$ về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0,6km$; còn khinh khí cầu thứ hai ở vị trí $B$ cách điểm xuất phát $1,7km$ về phía nam và $2,8km$ về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0,8km$. Người ta cần tìm một vị trí $M$ trên mặt đất để tiếp nhiên liệu cho hai khinh khí cầu sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó tới hai khinh khí cầu nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ vị trí $M$ đến điểm xuất phát (kết quả làm tròn đến hàng phần chục theo đơn vị ki – lô – mét).