Trong không gian $Oxyz$ , cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A(0;0;0),B(3;0;0),D(0;3;0)$ , $A^{\prime }(0;0;3)$ . Gọi $P$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$ , $K$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxz)$ .

(AI giải đề cho tôi)
Hình lập phương cạnh 3: A(0;0;0), B(3;0;0), D(0;3;0), A'(0;0;3) nên C(3;3;0), B'(3;0;3), C'(3;3;3), P trung điểm B'C' là P(3; 3/2; 3).
a) Sai: C(3;3;0) chứ không phải (3;3;3).
b) Trọng tâm tam giác PCD: x=(3+3+0)/3=2, y=(3/2+3+3)/3=5/2, z=(3+0+0)/3=1, tức (2; 5/2; 1) → Đúng.
c) Với G trọng tâm tam giác PCD thì KP+KC+KD = 3·KG, nên |KP+KC+KD| = 3·KG. K thuộc (Oxz) nên min KG = khoảng cách từ G(2; 5/2; 1) đến mặt phẳng y=0 bằng 5/2. Vậy giá trị nhỏ nhất là 3·(5/2) = 15/2 ≠ 5/2 → Sai.
d) AP = (3; 3/2; 3), BC' = (0; 3; 3). cos(AP, BC') = (0 + 9/2 + 9)/(√(9+9/4+9)·√18) = (27/2)/((9/2)·3√2) = (27/2)/(27√2/2) = 1/√2, nên góc bằng 45° ≠ 60° → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
C(3;3;0) vì C nằm trong mặt phẳng z=0, không phải (3;3;3).
b) (AI giải đề cho tôi)
P(3; 3/2; 3), C(3;3;0), D(0;3;0). Trọng tâm: x=(3+3+0)/3=2, y=(3/2+3+3)/3=5/2, z=(3+0+0)/3=1 → (2; 5/2; 1). Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
KP+KC+KD = 3·KG với G(2; 5/2; 1) trọng tâm tam giác PCD. K thuộc (Oxz) nên min KG = khoảng cách từ G đến mặt phẳng y=0 bằng 5/2. Vậy min |KP+KC+KD| = 3·(5/2) = 15/2, không phải 5/2 → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos(AP, BC') = 1/√2 nên góc bằng 45°, không phải 60°.