Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho $A(-1;4;4)$, $B(-4;6;5)$ và đường thẳng $d:\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z+4}{-5}$.

Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-1+t\\ z=3\end{array}$ và ${\Delta }^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=1+2t^{\prime }\\ y=-2+2t^{\prime }\\ z=4+t^{\prime }\end{array}$.

Trong hệ thống quản lý bay tại sân bay Cam Ranh (Nha Trang), người ta thiết lập hệ thống tọa độ $Oxyz$ với $O$ là trạm kiểm soát không lưu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (coi như mặt phẳng). Đơn vị đo trên các trục là km.

Một chiếc máy bay thương mại $M_1$ đang bay theo lộ trình là đường thẳng $d_1$ đi qua điểm $A(2;4;10)$ và có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_1=(1;1;-0,5)$. Cùng lúc đó, một máy bay không người lái (drone) giám sát $M_2$ đang bay trên đường thẳng $d_2$ đi qua điểm $B(5;-1;12)$ và có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_2=(0;1;0,2)$. Tính khoảng cách ngắn nhất giữa hai máy bay trong quá trình di chuyển để đảm bảo an toàn hàng không (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :   và điểm
2 1 -1
M 2; -2; 5 . Điểm N a; b; c  thuộc đường thẳng  và độ dài MN nhỏ nhất. Tổng a  b  c
bằng

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $M(2;-4;-1)$ tới đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{rl}& x=t\\ & y=2-t\\ & z=3+2t\end{array}$ bằng

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có các cạnh $AB=A{A}^{\prime }=2a$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và $AC=a$. Gọi $M$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BM$ và $B^{\prime }C$.

Cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{1}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-1-2t\\ z=2+t\end{array}$. Đường thẳng vuông góc chung của $d_1,d_2$ có một vectơ chỉ phương là