Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ đi qua $O$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-2;1)$. Khoảng cách từ điểm $M(3;-1;1)$ đến $(P)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+2}{3}$ và mặt phẳng $(P):x+2y-2z+3=0$. Gọi $M$ là điểm có hoành độ âm thuộc đường thẳng $d$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến $(P)$ bằng 2. Tung độ của $M$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-y+z+1=0$ và điểm $A(1;-2;1)$. Điểm $A$ có khoảng cách đến mặt phẳng $(P)$ bằng

Cho điểm $M(1;2;-4)$, tìm tọa độ điểm $N$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ để $MN$ nhỏ nhất.

Câu 3. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có độ dài các cạnh $A{A}^{\prime }=5,AB=3,AD=4$. Tính khoảng cách từ điểm $C^{\prime }$ đến mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$. (Kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân).

Câu 5. Một công ty logistics đang thử nghiệm hệ thống giao hàng tự động bằng máy bay không người lái (drone). Trong không gian $Oxyz$, mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với $1$ mét trên thực tế. Mặt ngoài của một tòa nhà cao tầng được xem là một phần của mặt phẳng $(P)$ thẳng đứng, đi qua hai điểm $C(10;50;0)$ và $D(30;10;0)$. Vị trí giao hàng là điểm $B$ nằm trên mặt phẳng $(P)$. Drone bắt đầu bay từ kho hàng tại gốc tọa độ $O(0;0;0)$. Ban đầu, nó bay theo một đường thẳng đến vị trí $A(40;30;120)$. Từ vị trí $A$, drone thay đổi đường bay, di chuyển theo phương vuông góc với mặt phẳng $(P)$ đến vị trí giao hàng $B$. Tính khoảng cách từ $O$ đến $B$? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong một nhà máy thông minh, hệ tọa độ $Oxyz$ được thiết lập để điều hành các thiết bị tự động, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Mặt sàn nhà máy nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$. Một bộ định tuyến phát sóng Wi-Fi được treo tại vị trí $A(1;2;12)$, một cảm biến đo chấn động được gắn ngầm dưới nền nhà máy tại vị trí $B(10;14;-8)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt sàn. Một robot tự hành $M$ di chuyển trên mặt sàn và luôn giữ khoảng cách đến bộ định tuyến $A$ bằng $15\text{ m}$. Biết rằng robot $M$ có nhiệm vụ đồng bộ dữ liệu với cảm biến $B$ và quá trình này đạt độ ổn định cao nhất khi khoảng cách giữa robot và cảm biến là nhỏ nhất.
[IMAGE:img_q15_robot]