Cho điểm $M(1;2;-4)$, tìm tọa độ điểm $N$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ để $MN$ nhỏ nhất.

Năm 2011, kỹ sư Nguyễn Trí Hiếu, người Quảng Ngãi, đã sáng chế ra chiếc xe đu dây phục vụ công nhân điện lực di chuyển trên dây điện cao thế. Khi ở vị trí cân bằng, chiếc xe và đường dây điện sẽ cùng nằm trên một mặt phẳng vuông góc với mặt đất. Xe được cấu tạo bởi khung xe có gắn hai Puly tại vị trí $A$ và $B$ cách mặt đất lần lượt là $20\text{ m}$ và $19,9\text{ m}$ (như hình). Xe đu dây di chuyển giống xe đạp, được kết hợp dây xích, líp, đĩa, bàn đạp, phanh...; bàn đạp đặt tại vị trí $C$.
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (mỗi đơn vị độ dài tương ứng với $1\text{ m}$ thực tế); tọa độ các điểm $A,B,C$ lần lượt là $A(7;5;20);B(7;5,5;19,9);C(7;5;19)$.

Trong không gian $Oxyz$, gọi $\phi$ là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$, với $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$, khi đó $\cos \phi$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $M(5;-6;2)$ lên mặt phẳng $(Oxz)$ có tọa độ là

Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $E(-1;3;2)$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ có tọa độ là

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh bằng $4$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{BC}$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho vectơ $\vec{u}=2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k}$. Tọa độ của vectơ $\vec{u}$ là