Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a}(1;2;3),\vec{b}(0;-1;1)$. Độ dài của vectơ $2\vec{a}-\vec{b}$ bằng

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=6$ cm, $BC=B{B}^{\prime }=2$ cm. Điểm $E$ là trung điểm cạnh $BC$. Một tứ diện đều $MNPQ$ có hai đỉnh $M$ và $N$ nằm trên đường thẳng $E{C}^{\prime }$, hai đỉnh $P$ và $Q$ nằm trên đường thẳng đi qua điểm $B^{\prime }$ và cắt đường thẳng $AD$ tại điểm $F$. Khoảng cách $DF$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(4;1;5)$, $B(3;0;1)$, $C(-1;2;0)$ và điểm $M(a;b;c)$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}-5\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}$ lớn nhất. Tính $P=a-2b+4c$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A(-1;2;4)$, $B(-1;1;4)$, $C(0;0;4)$. Tìm số đo của góc $\widehat{ABC}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(0;0;-1)$, $B(-1;1;0)$, $C(1;0;1)$. Tìm điểm $M$ sao cho $3M{A}^2+2M{B}^2-M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh $A(1;0;2)$, $B(-1;-1;4)$, $C(1;3;6)$. Biết điểm $H(a;b;c)$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$. Tính $b-c$.

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có độ dài tất cả các cạnh đều bằng $a$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{CD}$.