Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có độ dài tất cả các cạnh đều bằng $a$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{CD}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;1)$; $B(1;3;-5)$. Mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ đi qua điểm nào trong các điểm sau:

Trong không gian $Oxyz$, cho các vec tơ $\vec{a}=(5;3;-2)$ và $\vec{b}=(m;-1;m+3)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left[-2025;2025\right]$ để góc giữa hai vec tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là góc tù?

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, tam giác $A^{\prime }BC$ đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $C{C}^{\prime }$.

Một chiếc cúp vàng cao 40 cm được trưng bày trong một chiếc lồng kính hình lập phương cạnh 60 cm. Chiếc cúp có trục đối xứng là đoạn thẳng $IK$, trong đó $K$ là đỉnh của chiếc cúp, điểm $I$ được đặt trùng với tâm của hình vuông $MNPQ$ và $IK$ vuông góc với mặt đáy. Một chiếc camera theo dõi được lắp ở vị trí điểm $E$ trên cạnh $AD$ (tham khảo hình minh họa). Khoảng cách nhỏ nhất tính từ đỉnh chiếc cúp tới vị trí lắp camera bằng bao nhiêu cm (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?

Cho tứ diện $OABC$ có các cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc. $M$ là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác $ABC$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $T=\frac{M{A}^2}{O{A}^2}+\frac{M{B}^2}{O{B}^2}+\frac{M{C}^2}{O{C}^2}$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ biết $A(3;-2;-1),B(1;4;6);C(3;38;-16),D(2;5;1)$.