Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d,d^{\prime }$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{u}=(a;b;c),{\vec{u}}^{\prime }=(a^{\prime };b^{\prime };c^{\prime })$. Côsin của góc giữa $d$ và $d^{\prime }$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, có hai trục $Ox,Oy$ đặt trên mặt đất (coi mặt đất là một mặt phẳng); tia $Oz$ hướng lên trên; đơn vị trên các trục tính bằng $\text{km}$. Một Ra đa đặt tại điểm $A(12;8;3)$ có khả năng phát hiện các thiết bị bay trong vòng bán kính $30\text{ km}$ (các thiết bị bay cách Ra đa một khoảng không quá $30\text{ km}$ sẽ hiển thị hình ảnh trên màn hình của Ra đa). Một chiếc UAV (thiết bị bay không người lái) đang bay từ điểm $M(72;28;3)$ đến điểm $N(-32;-30;3)$ với vận tốc không đổi là $240\text{ km/h}$. Hình ảnh của UAV xuất hiện trên màn hình của Ra đa bao nhiêu phút? (Không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+y-z-1=0$ và hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{1},{\Delta }_2:\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3}$. Biết rằng có hai đường thẳng $d_1,d_2$ nằm trong $(P)$, cắt ${\Delta }_2$ và cách ${\Delta }_1$ một khoảng bằng $\frac{\sqrt{6}}{2}$. Gọi ${\vec{u}}_1=(a;b;1),{\vec{u}}_2=(1;c;d)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của $d_1,d_2$. Tính $S=a+b+c+d$.

Câu 4. Trong công trường có một khung sắt dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Dựng hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ, đơn vị dm sao cho $O\equiv C^{\prime }$, đồng thời: Tia $Ox$ trùng với tia $C^{\prime }{D}^{\prime }$; Tia $Oy$ trùng với tia $C^{\prime }{B}^{\prime }$; Tia $Oz$ trùng với tia $C^{\prime }C$. Biết $AB=10\text{ dm}$, $AD=5\text{ dm}$, $A{A}^{\prime }=5\text{ dm}$. Một con kiến đi thẳng đều từ $B$ đến $C^{\prime }$ với tốc độ $1\text{ dm/s}$; đồng thời một con bọ đi thẳng đều từ $D$ đến $B^{\prime }$ với tốc độ $1\text{ dm/s}$. Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai con vật bằng bao nhiêu dm (làm tròn đến hàng phần trăm của dm)?

Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng cắt nhau d1 : = = và d 2 :  y = 1 + t .
1 2 −1  z = 2t

Gọi  là đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d1 và d 2 . Khi đó, giao điểm của  và mặt phẳng
( P ) : x + 2 y − z − 10 = 0 có tọa độ là

Trong căn phòng hình hộp chữ nhật, sàn nhà là hình vuông cạnh bằng $5\text{ m}$, chiều cao của phòng là $6\text{ m}$, có hai con nhện đang di chuyển trên 2 dây tơ khác nhau. Giả sử căn phòng được mô hình hóa là hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $ABCD$ là nền phòng thì con nhện thứ nhất được coi như điểm $E$ di chuyển trên đường dây tơ nối từ đỉnh $A$ đến trung điểm $M$ của $C{C}^{\prime }$, còn con nhện thứ hai được coi như điểm $F$ di chuyển trên đường dây tơ nối từ $D^{\prime }$ đến tâm $I$ của mặt $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$. Khoảng cách ngắn nhất giữa 2 con nhện bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3-4t\\ z=-1\end{array}$ (với $t\in \mathbb{R}$ là tham số). Góc giữa $\Delta$ và đường thẳng $Oy$ bằng bao nhiêu độ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?