Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3-4t\\ z=-1\end{array}$ (với $t\in \mathbb{R}$ là tham số). Góc giữa $\Delta$ và đường thẳng $Oy$ bằng bao nhiêu độ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Trực thăng cứu hộ Alpha cất cánh lúc $10$ giờ $00$ từ điểm xuất phát $A$. Nó bay thẳng với vận tốc $300\text{ km/h}$ tới đỉnh núi $D$, nơi xảy ra tai nạn. Cùng lúc đó, trực thăng Beta cất cánh từ đỉnh núi $T$ với vận tốc $350\text{ km/h}$ để đưa du khách về vị trí $B$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ với đơn vị trên các trục là kilômét sao cho $A(10;6;0),D(4;-3;3),T(7;-8;3),B(4;16;0)$. Cho biết hai trực thăng có đường bay giao nhau tại $S$. Khi Alpha tới $S$ thì Beta đã đi qua $S$ trước đó một khoảng thời gian bằng bao nhiêu giây (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-1}$ và $d_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-2}{-2}$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng song song với mặt phẳng $(P):x+y+z-7=0$ và cắt $d_1,d_2$ lần lượt tại $A,B$ sao cho độ dài đoạn thẳng $AB$ ngắn nhất. Phương trình đường thẳng $\Delta$ là

Câu 9. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-4}{2}=\frac{y-7}{1}=\frac{z-3}{4}$ và $d^{\prime }:\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+3}{1}$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $d,d^{\prime }$. Giá trị của $\cos \alpha$ bằng

Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, hai tuyến cáp ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ được lắp đặt theo các hướng khác nhau trong không gian, có phương trình lần lượt là: ${\Delta }_1:\frac{x+2}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{2},{\Delta }_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-2}{1}$. Một mặt phẳng $(P):2x+y-2z+3=0$ biểu diễn mặt bằng thi công. Một kỹ sư cần thiết kế một đoạn ống nối $d$ (là đoạn thẳng) sao cho $d$ song song với $(P)$ và cắt ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ lần lượt tại $A,B$, đồng thời $AB$ là ngắn nhất (để tiết kiệm chi phí vật liệu và giảm hao phí tín hiệu). Tính độ dài đoạn $AB$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}$ và ${\Delta }_2:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+2}{1}$.

Trong không gian $Oxyz$, đơn vị trên mỗi trục là km, một con tàu vũ trụ bay theo đường thẳng $d_1$ đi qua điểm $A(1;-3;4)$ với vectơ vận tốc ${\vec{v}}_1=(2;-1;3)$ km/s. Một tiểu hành tinh bay theo đường thẳng $d_2$ đi qua điểm $B(3;-4;5)$ với vectơ vận tốc ${\vec{v}}_2=(1;2;-1)$ km/s. Chọn mốc thời gian $t=0$ (giây) khi tàu vũ trụ ở vị trí $A$ và tiểu hành tinh ở vị trí $B$.